CCINP Mathématiques 2 MP 2006

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout le problème, est un espace vectoriel euclidien de dimension et on note un produit scalaire sur et la norme associée.
Si sont vecteurs de , on appelle matrice de GRAM de , notée , la matrice de de terme général pour et

on notera son déterminant: .
Si est une matrice de , le noyau de est, par définition,

Par ailleurs, on note :
pour entier l'espace muni du produit scalaire canonique à la fois considéré comme espace vectoriel euclidien et espace affine euclidien.

Si est une base orthonormale de , et si est la matrice de dont les colonnes sont les composantes des vecteurs dans la base , montrer que .
Quel lien existe entre le rang de la matrice et le rang de la famille de ?
3. Dans cette question, .
a. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que la famille ( ) soit liée.
b. Montrer que la famille est libre si, et seulement si, .
4. Application

L'angle géométrique d'un couple ( ) de vecteurs non nuls de est le réel vérifiant : .
Si et sont trois points de situés sur la sphère de centre et de rayon 1, si on désigne par et l'angle géométrique des couples respectifs ( ), ) et , montrer en utilisant une matrice de GRAM que :

Que se passe-t-il dans le cas où les points et sont sur un même cercle ?
5. Interprétation géométrique de la matrice de GRAM
a. Si et sont trois vecteurs de tels que le vecteur soit orthogonal à la fois au vecteur et au vecteur , trouver une relation entre les déterminants et .
b. Si est une famille libre de deux vecteurs de , si et si est le projeté orthogonal du vecteur , montrer que .
c. En déduire que si et sont trois points non alignés de est l'aire du triangle (donc, est l'aire du parallélogramme «formé par et .
6. De la même façon on montre que si et sont quatre points non coplanaires de , est le volume du parallélépipède «formé par et » que l'on désignera par parallélépipède .
On ne demande pas de prouver ce résultat.
a. Vérifier que ce résultat permet de retrouver la formule usuelle du volume du parallélépipède rectangle.
b. A l'aide de ce résultat écrire un petit algorithme en français qui, avec la donnée des coordonnées des points et , calcule le volume du parallélépipède ou affiche que les points sont coplanaires.
On pourra considérer que l'algorithme suppose connu le calcul du déterminant.
c. Après avoir entré cet algorithme dans la calculatrice, indiquer les résultats qu'elle donne dans chacun des cas suivants :
i. et .
ii. et .
iii. et .

Dans cette partie, est un entier naturel, , et est un réel, .
La famille de vecteurs distincts ( ) de l'espace , de dimension , est solution du problème si :
tous les vecteurs sont de norme 1
et
pour tout couple d'entiers distincts entre 1 et .
7. Résultats préliminaires
a. Montrer que si est solution du problème alors, pour tout couple ( ) d'entiers distincts entre 1 et est constant.
b. Sans aucun calcul de déterminant, donner en le justifiant, le polynôme caractéristique de la matrice dont tous les éléments sont égaux à 1 .
c. En déduire que si est solution du problème , alors .
8. Conditions nécessaires
a. Montrer que, pour que soit une famille libre de vecteurs solution du problème , il est nécessaire que et que .
b. Montrer que, pour que soit une famille liée de vecteurs solution du problème , il est nécessaire que et que (on pourra montrer qu'alors, la famille est libre).
c. Application

Existe-t-il dans cinq vecteurs distincts qui deux à deux forment un même angle obtus , c'est-à-dire tel que ?
9. Exemple du cas

Déterminer pour , une famille ( ) de points de , telle que la famille de vecteurs soit solution du problème en précisant le couple . Placer ces points sur une figure.
10. Exemple du cas

On suppose que et .
On pose et .
a. Soit un vecteur unitaire de et un sous espace supplémentaire orthogonal de vect dans , justifier qu'il existe une famille de vecteurs de solution du problème .
b. Si on pose alors pour tout , montrer que ( ) est une famille libre de vecteurs solution au problème .
c. A quelle condition nécessaire portant sur , existe-t-il trois points et de la sphère de centre et de rayon 1 de tels que les trois angles géométriques des couples et soient égaux à ?
Remarque : on demande de ne pas utiliser le résultat de la question 4.

On rappelle que si est une base de et si est une forme bilinéaire symétrique sur , la matrice de dans la base est la matrice symétrique de définie par : . Par ailleurs, si et sont deux vecteurs de où et sont les matrices de représentant leurs composantes dans la base , on a .
11. Soit , , on considère et deux bases orthonormales de pour ce produit scalaire.
On note la matrice de passage de la base ( ) vers la base ( ).

Montrer que, pour le produit scalaire puis justifier que .
12. Dans , de repère orthonormé , on considère l'ellipse d'équation où et sont deux réels strictement positifs.
a. Justifier que l'on définit un produit scalaire sur par si et dans la base .
b. Deux vecteurs et de sont des diamètres conjugués de si ( ) est une base orthonormale pour le produit scalaire ,
Donner un exemple simple de deux diamètres conjugués de .
c. Dans cette question, on demande de faire une figure.

Soit un point de coordonnées de , montrer en utilisant un vecteur gradient, que l'équation de la tangente T à la courbe en est . En déduire que la droite D qui passe par et parallèle à T a pour équation cartésienne . Si on note un point d'intersection de D et , montrer que les vecteurs et sont des diamètres conjugués de .
d. Si et sont deux points de tels que les vecteurs et soient des diamètres conjugués de , démontrer les deux théorèmes d'Apollonius suivants :
i. (précision : ).
ii. L'aire du parallélogramme «formé par et » est constante égale à .

Soit et deux familles de vecteurs de vérifiant

On veut montrer qu'il existe vérifiant: pour tout entier , .
On note , et on considère que les vecteurs sont numérotés de sorte que et soient deux familles libres de vecteurs.
On pose alors ,

on note ( ) une base orthonormale de
et ( ) une base orthonormale de .
Soit un endomorphisme de défini par :
pour et pour .
a. Montrer que conserve le produit scalaire.
b. Pour tout entier , montrer que .
c. Conclure.
14. On donne et deux familles de points de vérifiant pour tout couple d'entiers ( ) compris entre 1 et et on veut montrer qu'il existe une isométrie affine de vérifiant pour tout entier .
a. Si on pose pour tout entier et , montrer que, pour tout couple d'entiers compris entre 1 et .
b. Conclure.