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CCINP Mathématiques 2 MP 2005

Racines carrées de matrices

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Polynômes et fractionsRéductionAlgèbre généraleAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaire
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CCINP
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2005
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MP
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Maths
CCINP MPCCINP 2005MP MathsMaths 2005
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RACINES CARRÉES DE MATRICES

Notations

Dans ce sujet, est un entier naturel non nul et on note :
la - algèbre des matrices carrées réelles de taille .
le - espace vectoriel des matrices à lignes et une colonne.
le groupe des matrices inversibles de .
la matrice unité de .
Id l'application identité de .
Pour une matrice de est sa matrice transposée.
le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de .
l'ensemble des matrices symétriques positives de , c'est-à-dire des matrices de
vérifiant : pour toute matrice .
Si sont des réels, on note la matrice diagonale de qui admet pour coefficients diagonaux les réels dans cet ordre.
Si est un entier naturel non nul, on notera la norme infinie sur :
si .
Si et , on note la boule ouverte de centre et de rayon pour la norme .

Objectifs

Soit une matrice de , on dit qu'une matrice de est une racine carrée de si .
On note l'ensemble des racines carrées de , c'est-à-dire
Le problème propose de déterminer les racines carrées de dans différents exemples, (on pourra constater qu'une matrice peut admettre parfois une infinité de racines) et d'étudier quelques propriétés topologiques de .
Les trois parties du problème sont indépendantes.
Les trois premiers exemples de la partie I sont tous indépendants.

I - DÉTERMINATION DE DANS QUELQUES EXEMPLES

Exemple 1: Cas où possède valeurs propres distinctes

On suppose que la matrice admet valeurs propres réelles .
  1. Justifier l'existence d'une matrice inversible telle que où , puis montrer que est une racine carrée de , si et seulement si la matrice est une racine carrée de .
  2. Racines carrées de
Soit une racine carrée de .
a. Montrer que .
b. En déduire que la matrice est diagonale.
c. On note alors . Que vaut lorsque ?
d. Que peut-on dire de si admet une valeur propre strictement négative ?
e. Si on suppose que toutes les valeurs propres de sont positives ou nulles, déterminer les racines carrées de la matrice . On pourra poser pour .
3. Écrire toutes les racines carrées de à l'aide de la matrice . Combien de racines carrées admet-elle ? (On discutera selon le signe des valeurs propres de ).
4. Application :
Écrire les racines carrées de à l'aide de la matrice que l'on déterminera.

Exemple 2 : Cas où est la matrice nulle de

Dans cet exemple, on cherche à déterminer les racines carrées de la matrice nulle.
Soit , une racine carrée de la matrice nulle.
5. Soit l'endomorphisme de dont est la matrice dans la base canonique de . On note le rang de .
a. Comparer et puis montrer que .
b. On suppose non nul, donc . Soit ( ) une base de que l'on complète avec ( ) pour former une base de . Pour , on note le vecteur tel que .
Montrer que la famille est une base de puis écrire la matrice de dans la base . On notera cette matrice.
6. a. Déterminer les racines carrées dans de la matrice nulle.
b. Application : déterminer dans , les racines carrées de la matrice nulle.

Exemple 3 : Cas où

  1. Soit une racine carrée de l'unité .
    a. Vérifier que est une matrice inversible.
    b. Montrer que est semblable à une matrice diagonale que l'on décrira.
  2. Déterminer . On pourra poser pour .

Exemple 4 : Cas où est une matrice symétrique réelle

Dans cet exemple, toutes les matrices que l'on considérera appartiennent à .
9. Une matrice symétrique admet-elle nécessairement une racine carrée ?
10. Montrer qu'une matrice symétrique positive admet au moins une racine carrée qui est elle même symétrique et positive.
Remarque : On peut montrer l'unicité de cette racine carrée dans mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème.

II - Étude topologique de

Si est une matrice de qui a pour coefficients , on définit une norme en . On munit de cette norme .
11. Fermeture de
Soit une matrice de . Montrer que est une partie fermée de .
12. Étude du caractère borné de
a. Un exemple instructif Pour tout entier naturel , on pose . Calculer . est-elle une partie bornée de ?
b. est-elle une partie bornée de pour ?
c. Application : pour cette question, .
Montrer qu'il n'existe pas de norme «surmultiplicative» sur , c'est-àdire vérifiant pour tous et dans .

III - ZÉROS DE FONCTIONS POLYNOMIALES. APPLICATION À LA DÉTERMINATION DE L'INTÉRIEUR DE

Soit un entier naturel non nul. On munit de la norme infinie .
On note l'ensemble des fonctions polynomiales sur , c'est-à-dire :
si , il existe un entier naturel et une famille de réels tels que
.
Par exemple si est une fonction polynomiale sur . Si est l'ensemble des fonctions polynômes sur .
Enfin, si , on pose est l'ensemble des zéros de la fonction polynomiale ).
L'objectif de cette partie est d'étudier l'intérieur de , afin de déterminer l'intérieur de .
On rappelle que si est une partie de , un vecteur de est un point intérieur à s'il existe un nombre réel strictement positif tel que et que l'intérieur d'une partie est l'ensemble de ses points intérieurs.
13. Questions préliminaires:
a. Soit et . Montrer que peut s'écrire comme produit de intervalles.
b. Soient et deux parties de . On suppose que et sont d'intérieur vide, montrer que est encore d'intérieur vide.
14. Exemples d'ensemble des zéros de fonctions polynomiales
a. Dans cette question . Soit une fonction polynôme sur . Dans quel cas est-il infini ? Justifier votre réponse.
b. Dans cette question . On considère et . Représenter graphiquement dans le plan les ensembles et . et sont-ils infinis?
15. Intérieur de l'ensemble des zéros d'une fonction polynomiale
Soit .
a. Soient des parties infinies de . Montrer par récurrence que si la fonction polynomiale s'annule sur , alors est la fonction nulle.
b. En déduire que si s'annule sur une partie d'intérieur non vide, est la fonction nulle.
c. Si l'on suppose que n'est pas la fonction nulle, que vaut l'intérieur de ?
16. Application à l'étude de l'intérieur de
Dans cette question, on confondra les espaces vectoriels et . Par exemple, on prendra la liberté d'écrire que pour , sans se soucier de l'ordre des termes.
Soit une matrice de .
a. Écrire sous forme d'un sous-ensemble de puis montrer qu'il existe des éléments de tels que .
b. Déterminer l'intérieur de .
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