NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Fonctions de matrices

Notations :

Les |-algèbres suivantes sont considérées au cours de ce texte :

L'algèbre des matrices carrées réelles d'ordre .
Si est un intervalle de d'intérieur non vide, on note l'algèbre commutative des fonctions de classe de dans .
L'algèbre des fonctions polynomiales de dans | est usuellement identifiée à l'algèbre .

On y rencontre aussi les |-espaces vectoriels suivants:

L'espace des colonnes réelles à lignes noté .
L'espace , où .

Les notions de convergence dans et sont relatives aux normes respectives :

, si .
, si .

Objectifs du problème

Lorsque

, on sait donner un sens à la matrice

et l'on maîtrise bien le calcul polynomial sur

qui en résulte. En particulier, si

est une matrice de

, on appelle POLYNÔme MINIMAL de

le polynôme unitaire

de plus bas degré tel que

; il est immédiat (et on l'admettra) qu'il s'agit du polynôme minimal de l'endomorphisme

dont

est la matrice dans la base canonique de

.
Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens à la matrice

pour tOUTE FONCTION

DE CLASSE

, et cela moyennant des hypothèses convenables sur la matrice

. Autrement dit, on apprend à maitriser un certain calcul fonctionnel sur

.
Dans un second temps, on exploite ces résultats pour résoudre un système différentiel linéaire.

Notations fixées pour tout le problème :

On considère une matrice

et l'on SUPPOSE que son polynôme minimal

peut être écrit sous la forme:

avec :

; les

sont des RÉELS distincts; les

sont dans

. On note alors

le degré de

.
On considère aussi un intervalle

, d'intérieur non vide et contenant tous les

.
La matrice

et l'intervalle

sont particularisés dans les divers exemples traités au cours du problème.

Préliminaires :

Établir que pour dans et dans , on a : .
Soit un sous-espace vectoriel de dimension de , et soit une base de .
a) Montrer que l'on définit une norme sur en posant , si est la décomposition de l'élément de sur la base .
b) Justifier l'existence de constantes réelles strictement positives et vérifiant: .
c) Soit une suite d'éléments de ; on note la décomposition de sur . Montrer que la suite converge vers 0 dans ( ) si et seulement si CHAQUE SUITE RÉELLE converge vers 0 .

I - Une relation d'équivalence sur

On convient de dire que des fonctions

«coïncident sur le spectre de

» lorsque :

. Ce que l'on résume par la notation

. Un exemple : si

la notation

signifie :

.
3. Soient

dans

vérifiant :

pour

.
a) Établir l'identité :

.
b) En déduire à l'aide d'un changement de variable, l'existence d'une fonction

vérifiant :
(1)

(2)

4. Soient

dans

.
a) On suppose:

En considérant les dérivées successives de

, établir que

.
b) On suppose

; en exploitant le

. justifier l'existence de

dans

vérifiant:

.
5. Soient

dans

; prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :
(1)

(2)

II - Définition de la matrice

A. On considère l'application

vers

qui associe à un polynôme

-uplet :

Établir le caractère bijectif de .
Soit dans ; justifier l'existence d'un et d'un seul polynôme de , de degré inférieur ou égal à et tel que : . On convient alors de DÉFINIR la matrice en posant : .

B. Quelques exemples

On suppose ici que est polynomiale et l'on écrit : .

En effectuant une division euclidienne, montrer qu'avec la définition de la question 7 , on obtient le résultat naturel :

.
9. ICI :

.
a) Calculer

.
b) Calculer la matrice

dans chacun des cas suivants :
(1)

, les réels

étant donnés.
(2)

(3)

, où la fonction

est donnée dans

III - Le calcul systématique de

A. Une formule générale

En exploitant l'isomorphisme linéaire du II.A, justifier l'existence et l'unicité de polynômes vérifiant:
pour TOUTE fonction de , on a :
On considère alors les matrices dites «associées» à :
.
Montrer que les diverses matrices sont linéairement indépendantes et que :

B. Deux exemples

ICI : et .
a) Justifier l'existence de matrices et de telles que:

b) En déduire le calcul de

.
c) Calculer les matrices

et plus généralement

pour

dans

.
13. ICI:

.
a) Présenter sous forme factorisée le polynôme

. La matrice

est-elle diagonalisable dans

?
b) Calculer les matrices

«associées» à

IV - Un calcul fonctionnel sur la matrice

A. Quelques identités bien naturelles

Soient et dans et dans .
a) Que valent et ?
b) Justifier l'existence d'un polynôme de tel que : .
a) Montrer que l'application de dans est un morphisme de |-algèbres.
b) Quel est son noyau?
On considère les fonctions cosinus et sinus de dans , puis les fonctions et de dans . On peut ainsi déFINIR les matrices , et même et si les sont dans .
a) En exploitant le morphisme , calculer .
b) On suppose ici que les sont strictement positifs. Reconnaître : et .

B. Le spectre de

Montrer que l'ensemble noté est une sous-algèbre commutative de et préciser sa dimension.
Montrer que si un élément de est inversible dans alors son inverse est aussi dans .
Soit dans ; établir l'équivalence des énoncés suivants:
(1) est inversible dans .

Si est une matrice de , on note l'ensemble de ses valeurs propres RÉELLES.

En exploitant la question 19 comparer les ensembles :

où

est donnée dans

V - Application à la résolution d'un système différentiel

Soient une suite de fonctions de et dans . Établir l'équivalence des énoncés suivants :
(1) La suite de matrices converge dans vers .
(2) Pour chaque et chaque , la suite réelle converge vers .
Lorsque la condition (2) est réalisée, on convient de dire que la suite de fonctions « converge vers sur le spectre de ».
Pour réel, on considère la fonction de dans . Montrer que : . Il s'agit donc précisément de la matrice usuellement notée .
En exploitant les résultats acquis à ce stade du problème, résoudre le système différentiel :