J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

CCINP Mathématiques 2 MP 2001

Utilisation des matrices compagnon

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireRéductionPolynômes et fractions
Logo ccinp
🔗 Explorer
Banque
CCINP
Année
2001
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2001MP MathsMaths 2001
2025_08_29_718504111140aef1b64dg

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n99-186 du 16/11/99.

UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON

Notations et définitions:
Dans tout le problème désigne ou et est un entier naturel.
Si est un endomorphisme d'un -espace vectoriel , on note et .
On note la -algèbre des polynômes de degré inférieur ou égal à la -algèbre des matrices carrées de taille à coefficients dans de matrice unité et le groupe des matrices inversibles de ; les éléments de sont notés .
Pour une matrice de , on note la transposée de la matrice son rang, son polynôme caractéristique et l'ensemble de ses valeurs propres.
Si est un polynôme unitaire de on lui associe
(c'est-à-dire la matrice est définie par pour et dans les autres cas).
Les parties II. III. et IV. utilisent les résultats de la partie I. et sont indépendantes entre elles.
I. Propriétés générales
Dans cette partie on considère le polynôme de et sa matrice compagnon associée.
  1. Montrer que est inversible si et seulement si .
  2. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice et déterminer une constante telle que .
  3. Soit un polynôme de , déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une matrice de telle que .
  4. On note la transposée de la matrice .
    (a) Justifier la proposition : .
    (b) Soit élément de , déterminer le sous-espace propre de associé à .
    (c) Montrer que est diagonalisable si et seulement si est scindé sur et a toutes ses racines simples.
    (d) On suppose que admet racines deux à deux distinctes, montrer que est diagonalisable et en déduire que le déterminant de Vandermonde est non nul.
  5. Exemples :
    (a) Déterminer une matrice (dont on précisera la taille ) vérifiant :
(b) Soit un -espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de vérifiant : et ; montrer que l'on peut trouver une base de dans laquelle la matrice de est une matrice compagnon que l'on déterminera.

II. Localisation des racines d'un polynôme

Soit une matrice de , on pose pour tout entier :
Pour , on note .
6. Soit et un vecteur propre associé à .
Montrer que pour tout entier .
7. Démontrer que .
8. Soit un polynôme de , établir que toutes les racines de sont dans le disque fermé de centre 0 et de rayon .
9. Application :
Soit et quatre entiers naturels distincts et non nuls, montrer que l'équation d'inconnue :
n'admet pas de solution sur .

III. Suites récurrentes linéaires

On note l'espace vectoriel des suites de complexes et si est une suite de , on écrira à la place de pour désigner l'image de par .
On considère le polynôme de avec et on lui associe le sous-espace vectoriel de formé des éléments vérifiant la relation :
  1. Montrer que si est racine de alors la suite est élément de .
  2. Soit l'application de vers définie par : , montrer que est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Quelle est la dimension de ?
  3. Pour tout entier on définit les élements de par :
(a) Déterminer pour .
(b) Montrer que le système de vecteurs est une base de .
(c) Soit un élément de , établir que .
13. Si est un élément de , on définit l'élément de par . Montrer que l'application ainsi définie est un endomorphisme de et que est stable par .
14. Si est l'endomorphisme de induit par , montrer que la matrice de dans la base ( ) est .
15. On suppose que admet racines non nulles et deux à deux distinctes : .
(a) Déterminer une base de formée de vecteurs propres de .
(b) En déduire que, si est élément de , il existe des constantes complexes telles que: .
16. Exemple : (On revient à la notation usuelle )
Soit et trois réels distincts.
Déterminer une base de l'espace vectoriel des suites définies par et et par la relation de récurrence valable pour tout :
IV. Matrices vérifiant :
Dans cette partie, pour une matrice , on notera la matrice compagnon du polynôme .
17. Une matrice est-elle nécessairement semblable à la matrice compagnon ?
Pour tout couple ( ) de matrices de , on considère les deux propositions suivantes, que l'on identifie chacune par un symbole:
()
: Il existe une matrice inversible telle que et .
18. Montrer qu'un couple ( ) de matrices distinctes de vérifiant (**) vérifie ().
19. Déterminer un couple ( ) de matrices de ( ) vérifiant (*) mais ne vérifiant pas (**) et déterminer le plus grand commun diviseur des polynômes et .
Dans la suite de cette partie, ( ) est un couple de matrices de vérifiant (*) et tel que et sont deux polynômes premiers entre eux.
Soit un -espace vectoriel de dimension et de base , on désigne par et les automorphismes de tels que (respectivement ) soit la matrice de (respectivement ) dans la base .
Enfin on pose .
20. Montrer que est un hyperplan vectoriel de .
21. Soit un sous-espace vectoriel de stable par et par c'est-à-dire :
On notera (respectivement ) l'endomorphisme induit par (respectivement ) sur . On rappelle que divise .
(a) Montrer que n'est pas inclus dans .
(b) On suppose que , montrer que puis que l'on peut compléter une base de par des vecteurs de pour obtenir une base de . En utilisant les matrices de et dans la base montrer que l'on aboutit à une contradiction.
(c) Quels sont les seuls sous-espaces stables à la fois par et par ?
22. Pour , on note .
(a) Montrer que les sous-espaces sont des hyperplans vectoriels de .
(b) Montrer que .
(c) Soit un vecteur non nul de , on pose pour .
Montrer que est une base de .
(On pourra considérer où est le plus grand entier naturel non nul pour lequel la famille ( ) est libre).
(d) Montrer que la matrice de (respectivement ) dans est (respectivement ).
(e) Conclure.
23. Application :
Soit et deux automorphismes d'un -espace vectoriel de dimension vérifiant :
En utilisant une action de groupe, montrer que le groupe engendré par et est fini de cardinal inférieur ou égal à ( )!.
Fin de l'énoncé.
CCINP Mathématiques 2 MP 2001 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa