J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

CCINP Mathématiques 2 MP 2000

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireRéductionTopologie/EVN
Logo ccinp
🔗 Explorer
Banque
CCINP
Année
2000
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2000MP MathsMaths 2000
2025_08_29_54e0c2605731c9ac74f0g

CONCOURS COMMUNS POLYTECHMIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

DurÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire du 01.02.99.

Préambule

Dans ce problème, on se propose d'étudier des familles de matrices que l'on rencontre lors de la résolution numérique de problèmes relatifs à des équations aux dérivées partielles de type elliptique par des méthodes de différences finies.
Matrices irréductibles - Matrices à diagonales faiblement ou fortement dominantes.

Notations :

Dans tout le problème, on suppose que est un entier supérieur ou égal à 2 .
est l'ensemble des matrices carrées réelles à lignes et colonnes, l'ensemble des matrices réelles à lignes et colonnes.
est la matrice unité de est l'ensemble des matrices symétriques à lignes et colonnes. Si .
Si appartient à on pourra écrire .
étant l'élément de la -ème ligne et de la -ème colonne de .
de dans désigne le produit scalaire euclidien canonique de . On identifiera et et pour on écrira par exemple le produit scalaire des éléments de correspondants : on a donc, en raison de l'identification .
est l'ensemble des premiers entiers strictement positifs.
Rappel: une matrice réelle symétrique est dite positive (définie positive) si ses valeurs propres sont positives (strictement positives).

Définition 1:

Soient la base canonique de et une permutation de l'ensemble . On appellera matrice de permutation associée à , la matrice de telle que . Alors où est le symbole de Kronecker.

Définition 2:

Soit . On dit qu'une matrice est irréductible si pour tout couple de parties de telles que et , il existe un élément avec et .
Dans le cas contraire on dira que est réductible.

Définition 3:

est à diagonale faiblement dominante si :
1) pour tout indice
2) pour au moins un indice

Définition 4 :

est à diagonale fortement dominante si, pour tout indice

Première partie

Question 1-1

a) Soient et deux permutations de l'ensemble .
a.1) Montrer que .
a.2) Montrer que est inversible et que .
a.3) Montrer que .
2b) Soit et la matrice associée à la permutation . On définit . Exprimer à l'aide de .
c) Montrer que est irréductible si et seulement s'il n'existe pas de matrice de permutation telle que soit de la forme :
où et sont des matrices appartenant respectivement à et et une matrice dont tous les éléments sont nuls.

Question 1-2

a) Soit telle que où et appartiennent respectivement à et et sont inversibles. Résoudre le système linéaire où est la matrice des inconnues et est donnée. On utilisera pour cela une décomposition convenable de et de en blocs .
b) On suppose que est réductible. Proposer une méthode de résolution du système .

Question 1-3

On veut montrer que est irréductible si et seulement si la propriété suivante est vérifiée :
(P) pour tout couple d'indices distincts de ou alors il existe un entier et des indices tels que le produit soit non nul.
a) Etablir que la condition est suffisante.
b) On suppose maintenant que est irréductible. Pour chaque indice , on définit comme l'ensemble des indices de tels que :
é
Montrer que et en déduire que la condition est nécessaire.

Question 1-4

Le concept d'irréductibilité peut être illustré graphiquement.
Soit et un ensemble de points distincts du plan. Pour chaque couple tel que , on trace une flèche allant du point vers le point . Si et sont non nuls, il y aura une flèche du point vers le point et une autre de vers . Si on pourra tracer une boucle allant de vers lui-même.
et
On associe ainsi à chaque matrice ce que l'on appelle un graphe orienté.
En étudiant les graphes associés aux deux matrices suivantes :

donner une interprétation graphique du caractère réductible ou irréductible de chacune d'elles.

Deuxième partie

Question 2-1

Soit à diagonale fortement dominante ; soit tel que ; soit , un indice tel que . En considérant la -ème ligne du produit montrer que l'on a nécessairement . Que peut-on en déduire pour

Question 2-2

On suppose que est irréductible et à diagonale faiblement dominante.
a) Montrer qu'alors pour tout indice .
b) Montrer que . Pour cela, on raisonnera comme dans la question 2-1 et on montrera d'abord que si , tous les éléments de la matrice colonne sont nécessairement égaux en valeur absolue.

Question 2-3

a) Si est une matrice dont les éléments diagonaux sont et si, de plus, elle est à diagonale faiblement dominante, montrer que toutes les valeurs propres de sont .
b) Si , de plus, est irréductible ou inversible, on montrera que toutes les valeurs propres de sont strictement positives.

Troisième partie

Définition 5 :

Une matrice est une -matrice si :
  1. pour tout indice , on a
  2. pour tout couple d'indices tels que , on a

Définition 6:

Une matrice est une -matrice si :
  1. est définie positive,
  2. pour tout couple d'indices tels que , on a

Définition 7:

Une matrice est une -matrice si :
  1. pour tout couple d'indices tels que , on a ,
  2. est inversible,
  3. tous les éléments de sont .

Question 3-1

a) Soit définie positive, montrer qu'alors pour tout indice . En déduire que est une -matrice si et seulement si est une -matrice définie positive.
b) Montrer que toute -matrice est une -matrice.
c) Montrer que si est une -matrice
  1. irréductible,
  2. à diagonale faiblement dominante, alors est une -matrice.

Question 3-2

Le spectre de est, par définition, l'ensemble des valeurs propres réelles ou complexes de . . On appelle alors rayon spectral de .
a) Si , montrer que la série est convergente si et seulement si .
On admettra l'équivalence : .
Dans toute la suite de la question 3-2, on considère une -matrice d'ordre et la matrice diagonale ayant la même diagonale que , donc définie par :
Pour tout couple d'indices tels que , on a
Pour tout indice , on a
Soit appartenant à , telle que et soit (on justifiera l'existence de ).
On suppose que .
b) Justifier le fait que est inversible et montrer que tous les éléments de sont positifs ou nuls.
c) Montrer que est inversible et que est une -matrice.

Question 3-3

Si est une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs, on définit et matrices diagonales dont les éléments diagonaux sont respectivement et pour tout indice .
Soit une -matrice.
On définit comme à la question précédente et par et par .
a) Montrer que est une -matrice et que :
pour tout entier strictement positif.
b) Soit définie par : . Montrer que tous les éléments de sont positifs et majorés indépendamment de .
c) En déduire que .

Question 3-4

Soit une -matrice.
On utilise les mêmes notations qu'en 3-2 et 3-3.
a) Montrer que est inversible et que .
b) On veut maintenant montrer que ce qui suffira pour établir que toute -matrice est une -matrice.
b1) Montrer que est définie positive.
b2) En supposant , montrer que l'on est conduit à une contradiction et que donc toute -matrice est une -matrice. On admettra que si a tous ses éléments positifs ou nuls, alors, il existe tel que .
CCINP Mathématiques 2 MP 2000 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa