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CCINP Mathématiques 2 MP MPI 2023

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaire
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Banque
CCINP
Année
2023
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
CCINP MP/MPICCINP 2023MP/MPI MathsMaths 2023
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE 1

On note .
Dans cet exercice, on pourra utiliser sans démonstration que pour tout entier naturel , la fonction est intégrable sur et .
Q1. Démontrer que l'on définit un produit scalaire sur en posant, pour tout couple de polynômes de . On notera || la norme euclidienne associée.
Q2. Déterminer le projeté orthogonal de sur noté .
Q3. Justifier que puis calculer le réel : .

EXERCICE 2

Soit . Soit et deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans définies sur un même espace probabilisé et suivant la même loi définie par:
On considère les variables aléatoires et définies par et .
Q4. Pour tout couple ( ) d'entiers naturels, déterminer en distinguant trois cas : et .
Q5. En déduire la loi de la variable aléatoire .

PROBLÈME

Dans ce problème, est un -espace vectoriel de dimension finie.

Partie 1

Q6. Un exemple

Vérifier que la matrice est diagonalisable.
Démontrer que les matrices et sont des matrices de projecteur puis calculer et .
Q7. On rappelle le lemme de décomposition des noyaux:
Si sont des éléments de deux à deux premiers entre eux de produit égal à , si est un endomorphisme de alors :
L'objet de cette question est de démontrer le cas particulier .
Soit un endomorphisme de et soit et deux polynômes premiers entre eux.
Justifier que (de même, on a : ).
Démontrer que : .
Dans la suite du problème, on pourra utiliser librement le lemme de décomposition des noyaux.
Q8. Soit un endomorphisme de et soit son polynôme minimal.
On suppose que où les polynômes et sont premiers entre eux. On pose, pour tout entier .
Justifier qu'il existe deux polynômes et de tels que .
Pour la suite de cette partie, on notera la décomposition en facteurs premiers du polynôme minimal et on admettra que, si pour tout entier , il existe des polynômes de tels que .
Q9. On pose alors pour tout entier .
Démontrer que pour tout couple d'entiers distincts de , on a les trois résultats suivants :
et chaque est un projecteur de .
Les seront appelés projecteurs associés à .
Q10. Soit un endomorphisme de et soit son polynôme caractéristique : (avec les deux à deux distincts et les des entiers naturels non nuls) et pour tout entier le sous-espace caractéristique associé à . Justifier que .
Q11. Démontrer que .
Q12. Démontrer que pour tout entier .

Partie II

Dans toute cette partie, on suppose que l'endomorphisme est diagonalisable et on note ses valeurs propres distinctes.
Q13. Quel est alors le polynôme minimal de ?
Q14. On note toujours, pour tout entier où , et on pose .
Donner, sans détails, la décomposition en éléments simples de puis démontrer que les projecteurs associés à sont, pour tout entier .
Q15. Démontrer que puis que (décomposition spectrale de ).
Q16. Exemple : on considère la matrice .
a) Justifier que la matrice est diagonalisable et calculer la matrice .
b) En déduire le polynôme minimal de la matrice puis la décomposition spectrale de la matrice . On notera et les matrices des projecteurs associés.
c) Calculer, pour tout entier naturel , en fonction des matrices et .
Q17. On note l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie.
Démontrer que la dimension de l'espace vectoriel est égal au degré du polynôme minimal de l'endomorphisme .
Q18. On revient au cas diagonalisable avec .
Démontrer que la famille des projecteurs associés à est une base de l'espace vectoriel .
Q19. Dans le cas d'un endomorphisme non diagonalisable, la famille ( ) des projecteurs associés à est-elle toujours une base de l'espace vectoriel ?
Q20. Nous avons vu que si est un endomorphisme de diagonalisable, il existe endomorphismes non nuls de , tels que pour tout entier on ait .
Nous allons étudier une « réciproque».
Soit un endomorphisme de -espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'il existe endomorphismes non nuls de et complexes distincts, tels que pour tout entier naturel on ait .
Démontrer que est diagonalisable.
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