CCINP Mathématiques 1 TSI 2014

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet se compose d'un exercice et d'un problème totalement indépendants entre eux et qui peuvent être abordés dans un ordre quelconque.

On considère l'espace vectoriel réel constitué des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 1 .
Autrement dit, .
On désigne par l'application de dans définie par :
.
Par exemple, si et , alors .
I. Montrer que est un produit scalaire sur .

Pour alléger les notations, on notera désormais le produit scalaire des polynômes P et Q à la place de .

La norme associée à ce produit scalaire sera notée .
Ainsi, pour tout polynôme P de .
II. Dans cette question, on se propose de montrer qu'il existe un unique polynôme de possédant la propriété suivante: .
On distinguera bien qui désigne un polynôme de et qui représente la valeur du polynôme en 0 .
II.A. Soit un polynôme fixé de .

Montrer que l'égalité est vérifiée pour tout polynôme P de , si et seulement si, elle est vérifiée pour les deux polynômes et .
II.B. On pose : où et désignent deux réels.
II.B.1. Calculer et à l'aide de et .

En déduire que pour tout polynôme P de ,
si et seulement si :
II.B.2. Conclure qu'il existe un unique polynôme de que l'on explicitera tel que: .
III. On désigne par S l'ensemble des polynômes P de tels que et on se propose de déterminer la valeur maximale prise par lorsque P décrit S en utilisant successivement deux méthodes différentes.
III.A. Première méthode.

On pose .
III.A.1. Vérifier que .
III.A.2. En utilisant le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, déterminer un polynôme de tel que ( ) soit une base orthonormale de .
III.A.3. Montrer que les éléments de S sont exactement les polynômes de la forme , où décrit .
III.A.4. Si , déterminer deux réels et indépendants de et tels que pour tout réel .
III.A.5. En déduire la valeur maximale prise par lorsque P décrit S .

III.B.1. Rappeler l'énoncé de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et préciser les cas où cette inégalité est une égalité.
III.B.2. En utilisant le résultat obtenu dans la partie II., montrer que: .
III.B.3. Déterminer un polynôme P de S tel que .
III.B.4. Retrouver ainsi d'une seconde manière la valeur maximale prise par lorsque P décrit S .

Définitions et notations utilisées:
Soient un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E un espace vectoriel sur de dimension .

Soient et deux endomorphismes de E ; on note la composée de et de .

On convient que et pour tout entier supérieur ou égal à 2 , on pose .

On dit que est cyclique, si et seulement si, il existe un vecteur de E tel que soit une base de E .
Par exemple, si , dire que est cyclique revient à dire qu'il existe un vecteur de E tel que ( ) soit une base de E .
De même, si , dire que est cyclique revient à dire qu'il existe un vecteur de E tel que soit une base de E .

La première partie du problème est consacrée à l'étude d'exemples.
La seconde partie propose l'étude d'un endomorphisme de l'espace vectoriel .
Elle est totalement indépendante de la première partie.

I.A. On considère dans cette section I.A. que .

Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est la matrice .
I.A.1. On choisit .

Déterminer le vecteur et montrer que est cyclique.
I.A.2. Déterminer le vecteur puis déterminer deux réels et tels que : .
I.A.3. Déterminer la matrice de dans la base .
I.A.4. Montrer que le réel 2 est une valeur propre de .
I.A.5. Déterminer un vecteur non nul de , tel que ne soit pas une base de .
On donnera les coordonnées du vecteur que l'on aura choisi dans la base canonique de .
I.B. On considère dans cette section I.B. que .

Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est la matrice .
I.B.1 Déterminer le polynôme caractéristique de .
I.B.2. Montrer que est un automorphisme de .
I.B.3. Déterminer une base de chacun des sous espaces propres de .

En déduire que est diagonalisable, puis donner une base de dans laquelle la matrice de soit la matrice .
I.B.4. Montrer que où 0 désigne ici l'endomorphisme nul de .
I.B.5. En déduire que n'est pas cyclique.
I.C. On considère dans cette section I.C. que où désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Soit l'endomorphisme de qui, à tout polynôme P de , associe le polynôme .
On admettra que est bien un endomorphisme de et on ne demande pas de le vérifier.
On a donc par exemple : .
I.C.1. Déterminer et plus généralement pour tout entier compris au sens large entre 1 et .
On effectuera un raisonnement par récurrence sur .
I.C.2. En déduire que est cyclique.
II. Dans cette partie, on se donne un entier supérieur ou égal à 2 .

On considère l'endomorphisme de qui à tout polynôme P de associe le polynôme Q défini par: .
On admettra que est bien un endomorphisme de et on ne demande pas de le vérifier.
On a donc par exemple : .

On rappelle également le résultat suivant que l'on pourra utiliser sans avoir à le démontrer :
soit une famille de polynômes de l'espace vectoriel telle que pour tout entier compris au sens large entre 0 et .
Alors, la famille est une famille libre de .
II.A. Dans cette question, on montre que est cyclique.
II.A.1. Soit un entier naturel compris au sens large entre 1 et .

En utilisant la formule du binôme, montrer que le polynôme est exactement de degré .
II.A.2. Soit maintenant un élément quelconque de , le polynôme étant supposé de degré supérieur ou égal à 1 .
En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que: .
II.A.3. Montrer enfin que est cyclique en considérant la famille .
II.B. Dans cette question, on détermine le noyau et l'image de l'endomorphisme .
II.B.1. En utilisant le résultat de la question II.A.2., montrer que le noyau de l'endomorphisme est constitué de l'ensemble des polynômes constants.
II.B.2. Montrer que l'image de l'endomorphisme est contenue dans l'espace vectoriel .
II.B.3. En utilisant le théorème du rang, montrer finalement que l'image de l'endomorphisme coïncide avec l'espace vectoriel .
II.C. Dans cette question, on introduit une famille de polynômes , qui va permettre de démontrer d'une autre manière que est cyclique. On définit les polynômes , de en posant:

On a donc, pour tout entier compris au sens large entre 1 et ,

II.C.1. Montrer que est une base de .
II.C.2. Dans cette question et dans cette question seulement, on suppose que . Déterminer les coordonnées du polynôme dans la base de .
Indication : on pourra remarquer que 0 est racine de et , puis que 1 est racine de et
II.C.3. Soient et deux entiers naturels, tels que : et .

Montrer que puis déterminer en distinguant les cas et .
On donnera le résultat sans avoir besoin de le justifier.
II.C.4. En déduire une autre démonstration du fait que est cyclique.