Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autorisées.
EXERCICE
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
On note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à .
On définit l'application qui à un polynôme de associe :
Par exemple, on a .
Vérifier que et .
Montrer que est linéaire.
Déterminer le degré et le coefficient dominant de pour tout .
En déduire que est un endomorphisme de .
Dans cette question, on considère le cas .
On note la matrice de l'endomorphisme dans la base canonique de et le polynôme caractéristique de , c'est-à-dire où désigne la matrice unité carrée d'ordre 3.
(a) Vérifier que .
(b) Calculer le polynôme caractéristique .
(c) Quelles sont les valeurs propres de ?
(d) L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
(e) Déterminer les sous-espaces propres de .
Fin de l'exercice
PROBLÈME
Ce problème comporte deux parties indépendantes.
Notations
On note l'espace vectoriel des matrices rectangulaires à lignes et colonnes à coefficients dans .
En particulier, désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre .
On identifie un vecteur colonne de avec un vecteur de .
On note la transposée de la matrice .
Partie I : un exemple numérique
On munit le plan euclidien d'un repère orthonormé ( ).
Pour désigne un point du plan euclidien de coordonnées ( ) dans ce repère.
Dans le plan , on considère trois points et .
Pour , on considère la droite d'équation .
Pour , on considère le point appartenant à la droite de même abscisse que le point .
On définit la fonction de à valeurs dans par :
où désigne la distance du point au point .
Le but du problème est de chercher le minimum de la fonction . est un couple où le minimum de la fonction est atteint alors la droite s'appelle la droite de régression linéaire de en associée au nuage de points .
Établir que pour , si est le point de coordonnées , alors : .
Soit .
2. Montrer que .
On considère , la forme quadratique sur définie par :
On note la matrice et le vecteur colonne .
3. Exprimer en fonction de et la transposée de .
4. Déterminer les valeurs propres de ; on les notera, dans la suite, et , avec .
5. Comment peut-on vérifier ce résultat à l'aide des quantités et ?
6. Justifier l'existence d'une matrice orthogonale de , notée , que l'on ne cherchera pas à déterminer, telle que .
7. En déduire que si on pose alors, .
8. Déterminer une base des sous-espaces propres de . On détaillera les calculs.
9. En déduire une matrice orthogonale avec et , telle que .
10. Montrer que l'on a :
Montrer que :
avec une constante à déterminer.
12. Montrer que la fonction admet un minimum égal à .
13. Montrer que le minimum de la fonction est atteint au point .
14. Représenter dans le plan les trois points et ainsi que la droite de régression linéaire.
Partie II : distance en dimension 3
Dans cette partie, on utilise le produit scalaire canonique de , c'est-à-dire que si et sont deux vecteurs colonnes de ,
La norme du vecteur est .
On considère les matrices :
Soit l'application linéaire canoniquement associée à la matrice , c'est-à-dire que est l'unique application linéaire de dans dont la matrice associée dans les bases canoniques de et est A.
(a) Justifier que la famille , où et désignent les deux vecteurs colonnes de la matrice est une base de . Montrer que le rang de est égal à 2 . Que vaut ? On pourra utiliser le théorème du rang.
(b) Déterminer une équation cartésienne du plan .
(c) est-elle surjective ? injective ? bijective ?
(d) Déterminer une base orthonormée de en appliquant la méthode de Schmidt à la base .
On rappelle que si est un vecteur de et un sous-espace vectoriel de muni de la base orthornormée ( ), le projeté orthogonal du vecteur sur le sous-espace vectoriel est donné par la formule :
(a) On définit les vecteurs et . Montrer que la famille est une base de et que cette base est orthonormée.
(b) Montrer que , le projeté orthogonal du vecteur sur , est égal à . On détaillera les calculs.
On pourra utiliser la formule rappelée au 1.d ainsi que la base orthonormée .
(c) Déterminer un antécédent du vecteur par , c'est-à-dire un vecteur de tel que . Cet antécédent est-il unique?
On rappelle que si et sont deux vecteurs de , la distance entre et est définie par :
Si est un vecteur de et est un sous-espace vectoriel de , la distance de à est définie par:
On rappelle le résultat suivant : où est le projeté orthogonal de sur .
3. (a) Soient et . Calculer et en déduire que :
(b) Montrer que .
(c) Retrouver l'équation de la droite de régression linéaire de la partie I .
Fin de l'énoncé
CCINP Mathématiques 1 TSI 2012 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa
