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CCINP Mathématiques 1 TSI 2010
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Algèbre généraleAlgèbre linéaireGéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
EXERCICE
On munit un plan euclidien orienté d'un repère orthonormé direct (
Soit
Soit
- Montrer qu'il existe un repère orthonormé direct
que l'on ne cherchera pas à déterminer, dans lequel la courbe a pour équation .
On pourra utiliser la calculatrice. - Justifier que
est une hyperbole et préciser son excentricité. - Reconnaître la courbe
. En déduire une équation de dans le repère . - Montrer que
et se coupent en quatre points et dont on donnera les coordonnées dans le repère . - Prouver que les quatre points
et forment un rectangle et donner son aire. - Donner les coordonnées des sommets, des équations des asymptotes et des équations des tangentes aux sommets de l'hyperbole dans le repère (
). - Représenter graphiquement dans le repère (
), la courbe et l'hyperbole avec ses asymptotes, ses sommets et ses tangentes en ses sommets.
N.B. : On ne demande pas de faire apparaître le repère () .
PROBLÈME
Ce problème comporte trois parties. Les parties
Notations
Pour
On appelle vecteur colonne de
On appelle vecteur colonne de
Définitions
On dit qu'un vecteur colonne est stochastique lorsque ses coefficients sont tous positifs et que la somme de ces coefficients vaut 1 . Par exemple le vecteur colonne
On dit qu'une matrice carrée est stochastique lorsque chacune de ses colonnes l'est.
On dit qu'une matrice carrée est stochastique lorsque chacune de ses colonnes l'est.
Partie A
Un exemple en dimension 3
Dans cette partie, on étudie les trois suites
Pour tout
- Montrer que le système (
) s'écrit sous forme matricielle avec une matrice de que l'on déterminera. - Justifier que la matrice carrée
est stochastique. - Écrire un programme dans le langage de Maple ou Mathematica qui calcule le vecteur colonne
. - Calculer la trace de
notée et le déterminant de noté . On pourra utiliser la calculatrice. La matrice est-elle inversible? - Prouver que le vecteur colonne
est un vecteur propre de la matrice . Quelle est la valeur propre associée? - On pourra admettre les résultats demandés ici pour traiter la question suivante. Soit
une matrice de .
(a) Montrer que les matriceset ont le même polynôme caractéristique.
(b) Établir queadmet trois valeurs propres complexes (éventuellement non distinctes) que l'on note et et que . - Déduire des questions précédentes que les valeurs propres de
sont et 1 . - Justifier qu'il existe une matrice de
inversible telle que avec et où et sont des réels que l'on déterminera. - Calculer
. On pourra utiliser la calculatrice. - Démontrer par récurrence que pour tout
, on a : . - Soit
.
(a) Exprimeren fonction de .
(b) Montrer que le vecteur colonneest stochastique. - Prouver que la suite
(respectivement et ) est convergente vers une limite, notée (respectivement et ). - Prouver que le vecteur colonne
est stochastique et est vecteur propre de .
Partie B
Cas de la dimension 2
Soit
On considère une suite (
On considère une suite (
- Montrer qu'il existe
et deux réels de tels que .
On définit deux suites réelles
2. Démontrer par récurrence que pour tout
3. Montrer que
4. (a) On suppose que
2. Démontrer par récurrence que pour tout
3. Montrer que
4. (a) On suppose que
Montrer que
(b) On suppose que
(b) On suppose que
Que vaut
On suppose désormais que
5. Montrer que
On suppose désormais que
5. Montrer que
Soit
6. (a) Montrer que
(b) Prouver que
7. Établir que 1 est une valeur propre de
8. Prouver que la matrice
9. On pourra admettre le résultat demandé ici pour traiter la suite. Établir qu'il existe un vecteur colonne de
6. (a) Montrer que
(b) Prouver que
7. Établir que 1 est une valeur propre de
8. Prouver que la matrice
9. On pourra admettre le résultat demandé ici pour traiter la suite. Établir qu'il existe un vecteur colonne de
On ne cherchera pas à calculer
10. Montrer par récurrence que pour tout
11. Prouver que la suite
12. En déduire que le vecteur colonne
13. Soit
10. Montrer par récurrence que pour tout
11. Prouver que la suite
12. En déduire que le vecteur colonne
13. Soit
Partie C
Un cas particulier
On reprend les notations de la partie B.
Dans cette partie, on suppose de plus que la matrice
Dans cette partie, on suppose de plus que la matrice
- Montrer que la matrice
est de rang 1. - Montrer qu'il existe
tel que . - Établir alors que
. - Prouver que pour tout
.
Soit
5. Montrer que l'application linéaire
6. Donner dans la base
7. En déduire que l'endomorphisme
8. Soit
9. En déduire les valeurs de
10. Démontrer que
5. Montrer que l'application linéaire
6. Donner dans la base
7. En déduire que l'endomorphisme
8. Soit
9. En déduire les valeurs de
10. Démontrer que