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CCINP Mathématiques 1 TSI 2003
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Algèbre généraleAlgèbre linéaireGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI - SESSION 2003
Les calculatrices sont interdites.
NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les cinq parties du problème sont indépendantes
PARTIE I
- Montrer qu'on peut se limiter à
(ce qu'on fera dans toute la suite du problème). - Vérifier que
est périodique ; on notera une période strictement positive. - De quelle équation différentielle linéaire, du second ordre, à coefficients réels constants, homogène,
est-elle solution ? Résoudre cette équation différentielle. - On note respectivement E et d la partie entière et la partie décimale de
.
C'est-à-dire
Déterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans
Déterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans
PARTIE II
On pose
- Montrer que
est périodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et p tels que : (on pourra envisager ). On notera une période de . - Relier alors
à et . -
et étant à nouveau quelconques (mais toujours réels strictement positifs distincts), montrer la relation : . - En déduire que
est solution de l'équation . - Vérifier que
est solution de (E). En déduire que , sont également solutions de (E). - En admettant que l'ensemble des solutions de (E) est un espace vectoriel de dimension 4, montrer que la famille
en constitue une base.
PARTIE III
On s'intéresse à
- Montrer que
est un intervalle suffisant à l'étude de f . - Etudier les variations de f sur
; (on notera le point de où ). - Déterminer
. - Discuter suivant c le nombre de solutions dans
de l'équation . - Préciser les solutions dans les cas
et . - On se place dans le cas où l'équation
admet, sur , 2 solutions distinctes et . Déterminer et . - Résoudre
, avec et . - Reprendre la question III. 7 en appliquant le résultat de la question II. 3 à des valeurs particulières de
et .
PARTIE IV
On pose
- Montrer que
. - Montrer que la suite
est géométrique. - En déduire, pour
la limite de quand n tend vers l'infini. - Vérifier que le résultat précédent peut se prolonger par continuité à
.
PARTIE V
On note
- Comparer
et si .
Dans toute la suite, on suppose que
2. Représenter sommairement
3. Montrer que
4. On note à nouveau E et d les parties entière et décimale de
2. Représenter sommairement
3. Montrer que
4. On note à nouveau E et d les parties entière et décimale de
Discuter suivant E et d les signes de
5. Déterminer les coefficients de Fourier de
6. Quelle est la limite de
7. Déduire du résultat obtenu en 5 un développement en série de
5. Déterminer les coefficients de Fourier de
6. Quelle est la limite de
7. Déduire du résultat obtenu en 5 un développement en série de