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CCINP Mathématiques 1 TSI 2001

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresPolynômes et fractions
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Banque
CCINP
Année
2001
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2001TSI MathsMaths 2001
2025_08_29_50d62d5005a8b69d260dg

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES 1

Durée: 4 heures

L'usage des calculatrices programmables et alphanumériques est autorisé sous réserve des dispositions définies dans la circulaire 99-186 du 16.11.99.

Il est rappelé aux candidats qu'il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction des copies.
Dans tout le problème, désigne un réel de l'intervalle . Lorsque cela a un sens, on pose .

Préliminaires

1: Soit la fonction -périodique qui coïncide sur ] avec . Montrer qu'elle est développable en série de Fourier, puis donner son développement (on pourra linéariser le produit ).
2: En considérant , montrer que la série converge, et que :
Pourtant, à l'instruction :
Le logiciel de calcul formel MAPLE retourne la formule apparemment compliquée :
Seules des options spécifiques de MAPLE permettraient de transformer cette formule. On observe des phénomènes analogues sur MATHEMATICA.
L'objet de ce problème est d'éclaircir ce comportement inattendu. Après l'étude d'un endomorphisme sur l'espace des suites, la fonction est définie en partie II. Les parties I, II et III sont indépendantes.

I L'opérateur différence

On désigne par le -espace vectoriel des suites réelles indexées par . On notera le terme général d'une suite de . A toute suite de , on associe la suite définie par :
Par exemple, pour la suite arithmétique , on a .
La suite est ici la suite constante de valeur 1.
1: Un autre exemple : On définit la suite dite harmonique par pour tout . Déterminer .
2 : a) Montrer que définit un endomorphisme de .
b) Soient une suite de et un réel. Montrer qu'il existe une unique suite de satisfaisant
et donner une expression de en fonction de et de termes successifs de la suite .
c) En utilisant ce résultat, préciser ce que sont respectivement et , et en déduire que la dimension de est infinie.
3 : Soient et deux suites de . Montrer la formule, dite de sommation par parties, valable pour tous et dans avec :
4: Application : Calculer la somme en fonction de et de pour .

II Les fonctions 「 et d'Euler

1: Justifier que existe et que pour tout .
2: Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, la relation valable pour tout réel :
En déduire que ! pour tout .
3 : a) Soient et deux réels avec , et .
Déterminer max selon la valeur de . Montrer que, pour tout et tout :
b) En déduire que est de classe , d'abord sur tout segment , puis sur , et donner les expressions intégrales de et .
4 : On pose pour tout . Vérifier que, pour tout :
Quelle relation différentielle très simple relie les applications et sur ? En déduire que, pour tout :
Déterminer alors et .

III Formule des compléments

1: Montrer que pour tout , l'intégrale converge. On admet que sa valeur est .
2: Soit donné dans . On définit la fonction de deux variables où appartient au quart de plan et . On pose : et où :
  • et est le carré limité par les quatre droites d'équations cartésiennes : , et .
  • et et est le secteur du quart de plan supérieur droit bordé extérieurement par les deux cercles centrés en et de rayons respectifs et , et les deux droites passant par et d'angles polaires respectifs et .
    Faire un dessin de , puis un dessin de dans un plan rapporté à un repère orthonormé.
    3: Transformer en utilisant les coordonnées polaires. En déduire .
4: Montrer que : (on pourra poser et .
5: Soit donné, . Justifier les inclusions : pour suffisamment petit (on s'aidera d'un dessin). Quelles inégalités en résultent pour les intégrales et ?
6 : En déduire la formule, dite des compléments, valable pour tout :

Conclusion

1: Montrer que pour tout :
2: a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle : .
b) Montrer que, pour tout :
3: a) Montrer que est croissante sur (on utilisera l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales en reprenant les expressions de et ' calculées en II).
b) En déduire que, pour tout :
4 : Conclure.
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