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CCINP Mathématiques 1 PSI 2013

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Intégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Suites et séries de fonctions
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Banque
CCINP
Année
2013
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2013PSI MathsMaths 2013
2025_08_29_09842e524d680bf0ff42g

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Notations :

On note :
  • l'ensemble des entiers naturels.
  • l'ensemble des réels et l'intervalle .
Pour tout entier naturel on note la factorielle de avec la convention .

Objectifs :

L'objet de ce problème est d'expliciter la valeur d'une fonction (notée ) définie par une intégrale. Dans la partie I, on étudie une fonction et l'on propose un procédé de calcul de la limite de en . La partie II est consacrée à l'étude de deux fonctions (notées et ) qui seront utilisées dans la partie III.

Partie I

Etude d'une fonction et de sa limite

I. 1 Etude de la fonction

On note la fonction définie sur par:
I.1.1 Montrer que est une fonction impaire dérivable sur .
I.1.2 Montrer que est indéfiniment dérivable sur . Pour tout entier , on note la dérivée -ième de . Montrer qu'il existe une fonction polynôme , dont on précisera le degré, telle que pour tout :
I.1.3 Que peut-on dire de la parité de ?
I.1.4 Démontrer que admet une limite finie en (on ne demande pas de calculer cette limite). Dans toute la suite du problème, on note cette limite.

I. 2 Développement en série de

I.2.1 Montrer que pour tout , on a .
I.2.2 Expliciter .

I. 3 Calcul de

Pour tout entier , on note :
I.3.1 Montrer que pour tout réel , on a .
I.3.2 Soit un entier naturel non nul. Montrer que :
I.3.3 Démontrer que pour tout entier non nul, on a :
I.3.4 En déduire que pour tout :
En admettant que , calculer .

Partie II
Etude de deux fonctions

II. 1 Etude de la fonction

II.1.1 Justifier l'existence, pour tout réel , de l'intégrale :
On note la forme différentielle définie sur par :
II.1.2 La forme différentielle est-elle exacte sur ?
II.1.3 Etant donnés deux réels strictement positifs et , on note le pavé de défini par: et . On note le bord de orienté dans le sens trigonométrique. Quelle est la valeur de l'intégrale curviligne ?
II.1.4 En évaluant l'intégrale curviligne de le long des segments qui forment , déterminer en fonction de et .

II. 2 Etude de la fonction

II.2.1 Montrer que l'on définit une fonction paire et continue sur en posant :
II.2.2 Montrer que est de classe sur .
II.2.3 Déterminer une constante telle que pour tout on ait :
II.2.4 Expliciter pour , puis pour .

Partie III
Calcul d'une intégrale

III. 1 Etude de la fonction

III.1.1 Vérifier que l'on définit une fonction , continue sur , paire en posant :
III.1.2 Calculer .
III. 2 Soit et la fonction définie sur par :
Montrer que est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur . Expliciter sa limite.
III. 3 Désormais, a désigne un réel. Soit et fonction définie sur par :
Montrer que est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur . Expliciter sa limite.
III. 4 Soit avec et .
III.4.1 Justifier l'existence de et l'expliciter sous forme d'une intégrale.
III.4.2 Montrer que .
III. 5 Justifier l'intégrabilité sur de la fonction .
III. 6 Calculer .
Fin de l'énoncé
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