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CCINP Mathématiques 1 PSI 2011

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSéries et familles sommablesIntégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)
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CCINP
Année
2011
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2011PSI MathsMaths 2011
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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 6 pages.

Notations

On note : le module du nombre complexe ,
un intervalle de ,
une fonction définie sur à valeurs dans ou ,
une fonction définie sur à valeurs dans ou .
Sous réserve de son existence on note : pour .
Chaque fois qu'aucune confusion ne sera possible, on notera au lieu de .

Objectifs

Pour différentes hypothèses sur la fonction , sur l'intervalle et pour deux choix de la fonction , on se propose de déterminer la limite de lorsque le nombre réel tend vers .
Dans la partie I, on étudie un exemple explicite avec application à des calculs de sommes de séries. Dans la partie II, on considère une fonction définie sur [ [ à valeurs réelles et l'objectif est d'obtenir la limite en de lorsque , lorsque est de classe ou lorsque est continue par morceaux.

PARTIE I

Une étude de séries

I.1. Étude de la fonction

Pour tout réel tel que la série entière converge, on note sa somme.
I.1.1. Préciser le rayon de convergence de cette série entière, montrer que la fonction est définie sur l'intervalle et expliciter pour appartenant à .
I.1.2. Montrer, avec soin, que la fonction est continue sur l'intervalle . En déduire que (où ln désigne la fonction logarithme népérien).
I.2. Étude de la série
On considère la suite définie par :
Pour tout et pour tout et .
I.2.1. Montrer que : .
I.2.2. Déterminer la limite de la somme lorsque tend vers (on pourra considérer la fonction qui à associe sur un intervalle convenable). En déduire la convergence de la série et préciser sa somme.
I.2.3. En déduire que la série converge et montrer que sa somme est égale à .
I.3. Étude des séries et
Pour et , on note : et .
On désigne par un nombre réel fixé dans l'intervalle . Pour simplifier l'écriture des démonstrations, on supposera que .
I.3.1. Montrer que .
I.3.2. Montrer que la fonction est de classe sur le segment .
I.3.3. Montrer que l'intégrale tend vers zéro lorsque l'entier tend vers (on pourra utiliser une intégration par parties).
I.3.4. Expliciter . Déduire de ce qui précède la convergence de la série . Expliciter la somme en fonction de et de .
I.3.5. Exprimer en fonction de où appartient à .
I.3.6. En déduire la convergence des séries et . Expliciter leur somme respective. Le résultat est-il conforme avec celui obtenu en I.2.3. ?

PARTIE II

Limite d'une intégrale

Dans cette partie, on désigne par une fonction continue par morceaux sur l'intervalle à valeurs réelles et telle que l'intégrale généralisée soit convergente. On désigne par une fonction définie et continue sur l'intervalle à valeurs complexes et (sous réserve d'existence) on note pour .

II.1. Existence de

On suppose que la fonction est bornée sur l'intervalle .
Justifier l'existence de pour tout réel strictement positif. Montrer que la fonction est continue et bornée sur l'intervalle .
II.2. Limite de lorsque
On suppose que la fonction est de classe sur l'intervalle et à valeur réelle.
Soit .
II.2.1. Justifier l'affirmation :
Pour tout , il existe un réel positif tel que .
II.2.2. Le nombre réel étant fixé, montrer que l'intégrale tend vers zéro lorsque le nombre réel tend vers (on pourra utiliser une intégration par parties).
II.2.3. En déduire la limite de lorsque le nombre réel tend vers .
Dans toute la suite du problème, on suppose que et on note simplement :

II.3. Étude pour une fonction particulière

On suppose (dans cet exemple) que désigne la fonction définie par pour et donc pour .
II.3.1. Pour , calculer l'intégrale .
II.3.2. Montrer que pour :
II.3.3. Exprimer pour tout et pour tout , l'intégrale en fonction de et de pour un convenable.
II.3.4. Justifier, pour , la convergence de la série ; préciser sa somme .
II.3.5. Expliciter pour . Déterminer la limite de lorsque tend vers .

II.4. Étude générale

On désigne de nouveau par une fonction quelconque continue par morceaux sur l'intervalle telle que l'intégrale généralisée converge et on note :

II.4.1. Lemme préliminaire

Pour tout réel tel que la série converge, on pose . Montrer que la fonction est définie et continue sur . Justifier l'égalité :

II.4.2. Limite de dans le cas

On suppose de plus que est une fonction de classe sur l'intervalle . En utilisant les résultats obtenus en II. 2 et II.4.1, déterminer la limite de lorsque le réel tend vers . Le résultat est-il conforme avec celui obtenu pour la fonction ?

II.4.3. Cas d'une fonction continue par morceaux

II.4.3.1. Une limite

Étant donnés deux nombres réels et tels que , on considère l'intégrale pour . Montrer que .
On pose la partie entière de et la partie entière de . Pour , donner un encadrement de en fonction de et .
En déduire que tend vers lorsque le nombre réel tend vers .
II.4.3.2. Limite de dans le cas d'une fonction continue par morceaux Si est un intervalle de et si est une fonction continue par morceaux sur à valeurs réelles et telle que l'intégrale existe, on note toujours :
Quelle est la limite de lorsque le réel tend vers :
  • lorsque est un segment de et une fonction en escalier ?
  • lorsque est un segment de et une fonction continue par morceaux ?
  • lorsque et est une fonction continue par morceaux ?
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