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CCINP Mathématiques 1 PSI 2010

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Polynômes et fractionsAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommables
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Banque
CCINP
Année
2010
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2010PSI MathsMaths 2010
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 8 pages.

Cette épreuve porte sur l'interpolation polynômiale d'une fonction et comprend trois parties.
Dans la première partie, on définit des polynômes d'interpolation.
Dans la deuxième partie, on étudie une fonction définie sur un segment. La troisième partie conduit à une formule barycentrique.
  • On désigne par l'ensemble des entiers naturels, par l'ensemble privé de 0 et par l'ensemble des nombres réels.
  • Dans tout le problème, on désigne par un entier naturel, .
  • Étant donné deux entiers naturels , on note l'ensemble des entiers naturels tels que .
  • On note l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à . Pour simplifier l'écriture, lorsque est un polynôme de , on notera de la même façon la fonction polynôme associée.
  • Étant donné un intervalle de et un entier naturel , on note le - espace vectoriel des fonctions définies sur à valeur dans fois dérivables sur et à dérivée -ième, notée , continue sur . Le - espace vectoriel des fonctions continues de dans est, quant à lui noté . Lorsque est le segment , on considère sur l'espace vectoriel la norme définie par :
  • On note le produit des termes pour l'entier décrivant l'ensemble indiqué.
  • Pour et dans avec , on note l'entier .

PARTIE I

Dans cette partie, on considère nombres réels, deux à deux distincts, notés , et on définit la forme bilinéaire sur par :
Pour entier, , on définit les polynômes de par : .

I.1. Définition d'une structure euclidienne sur .

I.1.1. Justifier rapidement l'affirmation :
définit un produit scalaire sur mais pas sur .
I.1.2. Pour et entiers de , calculer . Montrer que la famille , pour , est une base orthonormale de l'espace euclidien pour le produit scalaire .
I.2. Définition de .
A toute fonction appartenant à on associe le polynôme défini par :
I.2.1. Pour tout , exprimer en fonction de . En déduire que vérifie pour tout .
I.2.2. Montrer que est l'unique polynôme , vérifiant pour tout .
I.2.3. Expliciter lorsque . Préciser le polynôme et, pour réel, la valeur de la somme .
Pour , on dira que est le polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à , de la fonction aux points , pour . Lorsqu'aucune confusion n'est possible, on notera simplement au lieu de .
Dans la suite de cette partie, on considère un segment contenant les points , pour .

I.3. Une application linéaire.

Soit l'application linéaire de dans définie par :
On considère l'espace vectoriel muni de la norme . En identifiant tout polynôme de avec la fonction polynôme associée, on munit également de la même norme . On définit la norme subordonnée à la norme de l'application linéaire par:
On note la fonction appartenant à , définie par :
I.3.1. Justifier l'inégalité : .
I.3.2. Montrer qu'il existe un nombre réel tel que .
I.3.3. Soit tel que . Pour tout , on définit par lorsque et lorsque . Soit la fonction définie sur vérifiant les propriétés suivantes :
  • est continue sur ,
  • pour tout ,
  • pour tout la restriction de à chaque intervalle est de la forme où et sont des réels. Les restrictions de à et à sont constantes.
    En calculant déterminer .

I.4. Un résultat auxiliaire.

Soit un entier naturel non nul et soit une fonction s'annulant en points distincts de l'intervalle .
I.4.1. Montrer que la fonction dérivée s'annule en au moins points de .
I.4.2. En déduire qu'il existe un point tel que .
I.5. Une expression de .
On note le polynôme de défini pour réel par . Soit une fonction appartenant à et soit un réel de , distinct de tous les , pour . On note (respectivement ) le polynôme d'interpolation de de degré inférieur ou égal à (respectivement inférieur ou égal à ) aux points , pour (respectivement au point et aux points , pour ).
I.5.1. Montrer qu'il existe un réel tel que, pour tout , on ait :
I.5.2. En appliquant à la fonction un résultat obtenu en I.4., montrer qu'il existe un réel tel que : !
En déduire que pour tout , il existe tel que :
I.5.3. Montrer que l'égalité (1) est aussi vérifiée lorsque l'on remplace par l'un des , pour .

PARTIE II

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On considère la fonction définie sur le segment par : .

II.1. Étude du maximum de .

II.1.1. Montrer que la fonction admet un maximum sur l'intervalle .
II.1.2. Soit : comparer et .
II.1.3. On suppose et . Calculer .
En déduire que pour , on a .
II.1.4. On suppose pair et on note . Montrer que atteint son maximum en un point de l'intervalle en supposant d'abord que puis .
On admettra que pour impair, atteint son maximum en un point de .

II.2. Abscisse du maximum de la fonction .

II.2.1. Soit , expliciter , où ln désigne la fonction logarithme népérien ; en déduire en fonction de .
II.2.2. Pour , déterminer le signe de la somme . En déduire que est strictement négatif sur l'intervalle .
II.2.3. Calculer la dérivée de la fonction définie sur .
Déterminer le sens de variation de la fonction . En déduire que la fonction s'annule en au plus un point de .
II.2.4. Montrer que le maximum de est atteint en un point et un seul de , noté . Quelle est la valeur de la somme ?

II.3. Étude de l'abscisse du maximum de .

II.3.1. On suppose , justifier l'inégalité .
En déduire une minoration de .
II.3.2. Préciser la nature de la série .
En déduire la limite de et par suite, celle de lorsque .

II.4. Une majoration de .

II.4.1. Montrer l'inégalité .
II.4.2. Montrer l'inégalité .
II.4.3. En déduire, que pour tout , on a la majoration .

II.5. Une majoration de .

Dans cette question, on reprend les notations de la partie .
Soit un segment, on note et on considère les points équidistants de , pour .
II.5.1. Pour , on note . On note le polynôme défini en I.5. par . Exprimer en fonction de et de .
II.5.2. Soit et soit son polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à , aux points équidistants , pour , défini en I.2.
Montrer l'inégalité :
(2) .

PARTIE III

On conserve les notations des parties et , avec en particulier des réels , pour , distincts. On définit les réels , pour .
III.1. Soit un réel et soit un entier de .
Exprimer en fonction de et .
III.2. Soit et soit son polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à , aux points , pour . On suppose différent de tous les , pour .
Montrer l'égalité :
(3) .
Calculer .
En déduire la formule barycentrique :
(4) .
III.3. Dans cette question, on suppose les points équidistants. On note et , pour . On se propose d'établir une formule barycentrique en remplaçant les par des coefficients entiers relatifs.
III.3.1. Exprimer en fonction de , de et de .
Soit . Exprimer à l'aide d'un entier de la forme , où et sont à préciser en fonction de et .
III.3.2. On suppose différent de tous les , pour . Montrer la formule :
(5) .
III.4. Une valeur approchée de .
On suppose que et on considère les points équidistants compris entre et .
III.4.1. Déterminer pour .
III.4.2. Montrer que :
(6) est, pour différent de tous les ,
la valeur en d'un polynôme d'interpolation de la fonction , en des points équidistants que l'on précisera.
III.4.3. Soit et soit la partie entière de .
Montrer l'inégalité : !
III.4.4. Montrer que pour fixé dans et non entier, on a :
Quelle est la limite lorsque tend vers ?
Fin de l'énoncé.
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