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CCINP Mathématiques 1 PSI 2009

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
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Banque
CCINP
Année
2009
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2009PSI MathsMaths 2009
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MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Le sujet comporte 5 pages.

Notations:

Pour tout nombre réel tel que l'intégrale généralisée converge, on note la valeur de cette intégrale.
Pour tout entier naturel non nul tel que l'intégrale généralisée converge, on désigne par sa valeur.

Objectifs:

L'objet de ce problème est d'étudier l'existence et un procédé de calcul éventuel de .
La partie I est consacrée à l'étude de la fonction pour obtenir un résultat qui concerne .
L'étude de l'existence de fait l'objet de la partie II.
La partie III voit la mise en œuvre d'un procédé de calcul des intégrales (lorsqu'elles convergent).

PARTIE I
Étude de la fonction

Rappel : .
On désigne par (respectivement ) la fonction définie sur [ par : respectivement .

I.1/ Étude des fonctions et .

I.1.1/ Étudier la fonction ; en déduire qu'il existe un nombre réel tel que, pour tout nombre réel strictement positif, on ait l'inégalité : .
I.1.2/ Étudier la fonction ; en déduire qu'il existe un nombre réel tel que, pour tout nombre réel strictement positif, on ait l'inégalité : .

I.2/ Existence de la fonction sur .

Établir la convergence de l'intégrale généralisée . En déduire que existe pour tout appartenant à .

I.3/ Limite de la fonction en .

I.3.1/ Préciser le signe de pour . En déduire que la fonction admet une limite finie en .
I.3.2/ Déterminer la valeur de (on pourra utiliser I.1.2).

I.4/ Caractère de la fonction .

I.4.1/ Montrer que la fonction est continue sur .
I.4.2/ Montrer que la fonction est de classe sur (on pourra utiliser I.1.1).
I.4.3/ Montrer que la fonction ' admet une limite finie (que l'on précisera) en .
I.4.4/ Montrer que la fonction est de classe sur .
I.4.5/ Expliciter pour appartenant à .
I.4.6/ Expliciter pour appartenant à . La fonction est-elle dérivable en 0 ?

I.5/ Expression explicite de fonction .

I.5.1/ Déterminer la limite de lorsque tend vers .
I.5.2/ Expliciter une primitive de la fonction : (on pourra utiliser une intégration par parties).
I.5.3/ Expliciter pour appartenant à .
I.5.4/ Déterminer .

PARTIE II

Étude de l'existence de

Rappel : et .
II.1/ Étude de .
Justifier la convergence de l'intégrale généralisée pour tout entier naturel non nul . Pour tout entier relatif tel que l'intégrale généralisée converge, on note la valeur de cette intégrale.

II.2/ Étude de .

Justifier l'existence de et établir une relation entre et (on pourra utiliser une intégration par parties, en remarquant que .

II.3/ Étude de l'existence de .

Préciser la nature de l'intégrale généralisée selon la valeur de l'entier relatif (on pourra utiliser une intégration par parties).

II.4/ Étude de la nature de

Pour tout appartenant à et tout entier relatif , on note : .
II.4.1/ Exprimer, pour tout entier naturel non nul et pour tout nombre réel appartenant à , l'intégrale à l'aide des intégrales .
II.4.2/ En déduire l'existence de pour tout entier naturel .
II.4.3/ Quelle est la nature de l'intégrale généralisée pour entier naturel non nul?

PARTIE III

Calcul de

III.1/ Un développement de Fourier.

On désigne par un nombre réel fixé, non multiple entier de , par la fonction définie , à valeurs réelles, -périodique et vérifiant : pour tout .
III.1.1/ Calculer les coefficients de Fourier réels et de la fonction .
On rappelle que pour tout entier naturel :
III.1.2/ Justifier la convergence de la série et déduire de III.1.1 la valeur de la somme : .

III.2/ Étude d'un procédé de calcul.

On désigne par une fonction définie et continue sur à valeurs réelles; on suppose de plus que est impaire et dérivable en 0 .
Pour tout entier naturel non nul on pose:
  • ,
    . l'application de dans définie par ,
  • .
    III.2.1/ Déterminer la limite de lorsque tend vers .
    III.2.2/ Etablir (pour tout entier naturel non nul ) une relation entre et .
    III.2.3/ Établir la convergence, pout tout appartenant à de la série .
Désormais on note pour tout appartenant à .
III.2.4/ Montrer que la fonction est continue .
III.2.5/ Justifier la convergence de la série et l'égalité .
III.2.6/ Justifier la convergence de l'intégrale généralisée et l'égalité .
III.2.7/ Justifier la convergence des intégrales généralisées et .
III.2.8/ Exprimer la différence à l'aide de l'intégrale d'une fonction continue sur le segment .

III.3/ Application au calcul de .

III.3.1 / En utilisant les résultats obtenus en III. 1 et III. 2 retrouver la valeur de (déjà obtenue en II.2).
III.3.2/ Calculer .
III.3.3/ Plus généralement expliciter pour tout entier naturel .
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