CCINP Mathématiques 1 PSI 2007

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On note :

Pour appartenant à , on note la valeur absolue de .
Pour tout entier naturel , on note la factorielle de avec la convention .
Si et sont deux entiers naturels fixes tels que , on note :

On rappelle que pour tout entier naturel élément de on a : .

Si est une fonction fois dérivable sur un intervalle (avec ) on note (resp. ) sa fonction dérivée (resp. sa fonction dérivée -ième).

Si est une application de dans , donc une suite réelle, on utilise la notation usuelle: pour tout appartenant à .
Soit un nombre réel, on rappelle que s'il existe un nombre entier qui vérifie alors est l'entier le plus proche de .

L'objet du problème est d'une part d'établir, pour tout entier naturel non nul, un lien entre l'entier naturel le plus proche de ! et le nombre d'éléments sans point fixe du groupe symétrique et d'autre part, d'étudier l'écart .

Dans la partie I on étudie et on le caractérise grâce à une récurrence, dans la partie II on étudie et on établit un lien avec . La partie III est consacrée à une estimation de puis à une étude des deux séries et .

On définit la suite par et la relation de récurrence :
pour tout de .

On rappelle que pour tout réel, la série est convergente, et que ; en particulier pour .

Pour , on note : et .

I.1.1/ Expliciter pour dans .
I.1.2/ Montrer que est un entier naturel pour tout de .

I.2.1/ Expliciter pour dans .
I.2.2/ Montrer que est un entier relatif pour tout de .
I.2.3/ Expliciter en fonction de , pour tout de .
I.2.4/ Comparer les deux suites et .

I.3.1/ Préciser le signe de en fonction de l'entier naturel .
I.3.2/ Etablir, pour tout entier naturel , l'inégalité suivante : . L'inégalité est-elle stricte?
I.3.3/ Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel est l'entier naturel le plus proche de .

On désigne par la fonction définie et de classe (au moins) sur l'intervalle à valeurs réelles, vérifiant les deux conditions :

I.4.1/ Justifier l'existence et l'unicité de la fonction . Expliciter pour tout de ]-1; 1[ .
I.4.2/ Justifier l'affirmation : « est de classe sur ».
I.4.3/ Expliciter , puis exprimer pour tout entier naturel :

I.4.4/ En déduire une relation, valable pour tout entier naturel , entre et .

Dans cette partie, on désigne par un entier naturel.
Pour on note :

Pour on adopte la convention : .
II.1/ Calculer et .
II.2/ Classer les éléments de selon leur nombre de points fixes et calculer .
II.3/ On suppose dans cette question que .
II.3.1/ Quel est le nombre d'éléments appartenant à ayant deux points fixes?
II.3.2/ Quel est le nombre d'éléments appartenant à ayant un point fixe ?
II.3.3/ Calculer .
II.4/Relation entre les .
II.4.1/ Rappeler sans justification le nombre d'éléments de .
II.4.2/ Si , combien d'éléments de ont exactement points fixes?
II.4.3/ Etablir pour tout entier naturel la relation : .
II.5/ On considère la série entière et l'on pose lorsque la série converge.
II.5.1/ Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à 1 .
II.5.2/ Pour tout de ; , on pose .

Justifier l'existence du développement en série entière de la fonction sur ; et expliciter ce développement.
II.5.3/ Expliciter pour tout nombre réel de . En déduire la valeur du rayon de convergence de la série .
II.5.4/ Comparer les deux suites et .
II.5.5/ La fonction est-elle définie en 1 ?
II.5.6/ La fonction est-elle définie en -1 ?
II.5.7/ Calculer .

Pour tout entier naturel on note :

III.1.1/ Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
III.1.2/ Établir la convergence de la série .

III.2.1/ Justifier, pour tout nombre réel et pour tout entier naturel , l'égalité :

III.2.2/ Déduire de (1) l'expression de en fonction de .
III.3/ Sur la série .

Justifier la convergence de la série ; la convergence est-elle absolue ?
III.4/ Sur la série .
III.4.1/ Justifier la convergence de la série .
III.4.2/ On pose .
III.4.2.1/ Justifier la convergence de l'intégrale impropre A .
III.4.2.2/ Exprimer la somme en fonction de l'intégrale A.
III.4.3/ Justifier la convergence de la série et expliciter la somme en fonction de .
III.4.4/ Expliciter un nombre rationnel vérifiant .