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CCINP Mathématiques 1 PSI 2004
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresTopologie/EVNSéries et familles sommablesIntégrales généralisées
Les calculatrices sont autorisées.
N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Notation et but du problème
On désigne par :
-
: le - espace vectoriel des fonctions définies sur à valeurs réelles, de classe sur , et qui vérifient ; -
: l'ensemble des fonctions appartenant à et telles que la fonction soit intégrable sur ; -
: l'ensemble des fonctions appartenant à et telles que la fonction soit intégrable sur .
On note :
Le but de ce problème est de comparer les ensembles
Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde le problème de comparaison de façon plus générale.
Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde le problème de comparaison de façon plus générale.
PARTIE I - Exemple 1
Dans cette partie, on suppose que
I.1/ Montrer que
I.
I.3/ Calcul de
I.1/ Montrer que
I.
I.3/ Calcul de
Pour
I.3.1/ Montrer que la fonction
I.3.2/ Soit
I.3.1/ Montrer que la fonction
I.3.2/ Soit
I.3.3/ En déduire l'expression explicite de
I.3.4/ Quelle est la valeur de
I.4/ Etudier le signe de
I.5/ Montrer que, pour tout
I.6/ Calcul de
I.3.4/ Quelle est la valeur de
I.4/ Etudier le signe de
I.5/ Montrer que, pour tout
I.6/ Calcul de
Pour
I.6.1/ Montrer que la fonction
I.6.2/ Montrer que la fonction
I.6.3/ Expliciter
I.6.4/Expliciter
I.6.5/ Etablir une relation entre
I.6.6/ En déduire la valeur de
I.6.1/ Montrer que la fonction
I.6.2/ Montrer que la fonction
I.6.3/ Expliciter
I.6.4/Expliciter
I.6.5/ Etablir une relation entre
I.6.6/ En déduire la valeur de
PARTIE II - Exemple 2
Dans cette partie, on suppose que
II.1/ Calculer
II.2/ Déterminer un équivalent (simple !) de
II.3/ Montrer que
II.1/ Calculer
II.2/ Déterminer un équivalent (simple !) de
II.3/ Montrer que
II.4/ Calcul d'une intégrale.
II.4.1/ Montrer que la fonction
On note désormais
II.4.2/ Montrer que, pour tout
II.4.3/ Justifier avec soin l'égalité :
II.4.4/ Déduire de ce qui précède la valeur de l'intégrale
II.4.2/ Montrer que, pour tout
II.4.3/ Justifier avec soin l'égalité :
II.4.4/ Déduire de ce qui précède la valeur de l'intégrale
II.5/ Calcul de
Pour simplifier, on note
On rappelle que
II.5.1/ Montrer que
II.5.2/ Justifier le changement de variable
II.5.3/ En déduire la valeur de
On rappelle que
II.5.1/ Montrer que
II.5.2/ Justifier le changement de variable
II.5.3/ En déduire la valeur de
PARTIE III
Le but de cette partie est de comparer, d'une part, les ensembles
III.1/ Soit
III.1.1/ Quelle est la limite de
III.1.2/ Exprimer
III.1.3/ Quelle est la limite de
III.1.4/ Etablir, pour
III.1/ Soit
III.1.1/ Quelle est la limite de
III.1.2/ Exprimer
III.1.3/ Quelle est la limite de
III.1.4/ Etablir, pour
(après avoir justifié l'intégrabilité sur []
III.2/ Comparaison de
III.2.1/ Déduire de la relation ( R ) l'inclusion :
III.2.2/ Les ensembles
III.3/ Comparaison de
III.3.1/ Montrer que
III.2.2/ Les ensembles
III.3/ Comparaison de
III.3.1/ Montrer que
On admettra sans justification que
III.3.2/ Justifier l'inégalité :
III.3.3/ Pour
III.3.4/ Les normes
III.4/ Soit
III.3.2/ Justifier l'inégalité :
III.3.3/ Pour
III.3.4/ Les normes
III.4/ Soit