CCINP Mathématiques 1 PSI 2001

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire 99-186 du 16.11.99 - BOEN du 25.11.99.

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants l'un de l'autre.

Etant donné une série convergente , on note son reste d'ordre , pour et on se propose d'étudier la série .

I.1. On suppose que , où .
I.1.1. Déterminer l'ensemble des tels que la série converge et préciser sa somme pour .
I.1.2. En supposant que , expliciter , montrer que la série converge et calculer sa somme .
I.2. On conserve les notations du I.1 :
pour et on pose . On considère par ailleurs la série et on pose : pour . On se propose d'établir la convergence de la série et de calculer sa somme.
I.2.1. Justifier la convergence de la série et par suite l'existence de pour tout .
I.2.2. Soit avec et .
I.2.2.1. En remarquant que , montrer que pour tout on a l'inégalité : .
I.2.2.2. L'entier étant fixé, déduire en particulier de I.2.2.1 que :

et par suite que .
I.2.2.3. Retrouver ainsi la valeur (bien connue !) de .
I.2.2.4. Montrer que pour tout couple on a l'inégalité :

I.2.2.5. Déduire en particulier de I.2.2.4 que la somme admet une limite lorsque tend vers .
En déduire que la série converge et calculer sa somme .

Une égalité sur les restes; quelques applications.

Lorsque la série numérique converge, on note toujours son reste d'ordre .
Soit une série convergente ; exprimer pour la différence en fonction de et de .

Montrer qu'il existe deux réels et tels que lorsque tend vers .

On suppose de plus que pour tout .
II.3.1. Montrer que la convergence de la série entraîne la convergence de la série .
II.3.2. On suppose que la série est convergente. Quelle est la limite de la suite lorsque tend vers ?
II.3.3. Déduire de ce qui précède que les deux séries et sont de même nature et lorsqu'elles convergent comparer alors leurs sommes et .
II.4. Application à la série .

On suppose maintenant que pour et .
On note toujours le reste d'ordre et on pose pour .
Préciser l'ensemble des tels que la série soit convergente et exprimer, pour , la somme à l'aide de la fonction .

On suppose maintenant que , où désigne une suite de nombres réels et où . On désigne par le rayon de convergence de cette série entière, on suppose et on note pour .
II.5.1. Soit ; justifier la convergence de la série ; en déduire que la suite admet une limite lorsque (et préciser cette limite).
II.5.2. En déduire que la série est convergente pour et exprimer sa somme à l'aide de et de la fonction .
II.5.3. Exemple : on suppose que pour .
II.5.3.1. Déterminer alors le rayon de convergence de cette série entière.
II.5.3.2. Expliciter la somme pour (en justifiant le résultat).

Notations :
Pour et , on note le coefficient binomial (avec ).
Si on note l'ensemble des entiers naturels tels que ; on désigne par l'anneau des matrices carrées d'ordre à coefficients dans .
Si on note avec ou désigne l'élément de la ligne et de la colonne .

Pour on considère la matrice avec définie par :

On se propose de calculer le déterminant de noté .

I.1. Expliciter la matrice .
I.2. Calculer det .
I.3. Pour on note .
I.3.1. Calculer et .
I.3.2. Etablir une relation entre et pour .

Quelle est la valeur de pour ?
I.3.3. Expliciter en fonction de et du coefficient binomial pour .
I.3.4. Exprimer en fonction de , de et de pour tout couple .

On considère l'espace vectoriel des fonctions continues sur l'intervalle à valeurs dans . On considère sur le produit scalaire défini par:
pour .
On définit deux suites et d'éléments de par:
pour tout et pour .
Pour on note le sous-espace vectoriel vect (sous-espace vectoriel de engendré par la famille .

On note, de même, le sous-espace vectoriel vect .
II.1. Calculer les produits scalaires pour .
II.2. En déduire que pour tout la famille est une base de .
II.3. Soit ; montrer que , c'est-à-dire que ; expliciter (on ne cherchera pas à calculer pour .
II.4. Démontrer l'égalité pour tout .
II.5. Pour on note la distance de au sous-espace vectoriel (pour la distance associée au produit scalaire défini au début de la partie II). Déduire de ce qui précède la valeur de .
II.6. Soit ; pour on note et on pose alors :

.
II.6.1. Calculer det pour .
II.6.2. Calculer pour .