CCINP Mathématiques 1 PC 2013

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

L'objectif du problème est d'étudier des conditions pour que deux matrices admettent un vecteur propre commun et d'en déduire une forme normale pour des vecteurs propres.
Les parties I et III traitent chacune de cas particuliers en dimension 3 et n. Elles sont indépendantes l'une de l'autre. La partie II aborde la situation générale en faisant apparaître une condition nécessaire et certaines autres conditions suffisantes à l'existence d'un vecteur propre commun.
Les parties II, III et IV sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres.
Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Soient et deux entiers naturels non nuls, l'ensemble ou .
Notons l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans , l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans ,

Pour et , on note :

On définit par la formule : .

On définit l'endomorphisme de par la formule : .

On considère les matrices suivantes :
et .
On note où et .

On note aussi et .
I.1.
I.1.a. Déterminer le spectre de .
I.1.b. Vérifier que la famille est une base de constituée de vecteurs propres de .
I.1.c. est-elle diagonalisable ?
I.1.d. Montrer qu'aucun des éléments de n'est un vecteur propre commun à et .
I.2.
I.2.a. Déterminer le spectre de .
I.2.b. Montrer que et que .
I.2.c. est-elle diagonalisable ?
I.3.
I.3.a. Montrer que .
I.3.b. Déterminer tous les vecteurs propres communs à et .
I.4.
I.4.a. Vérifier que .
I.4.b. Montrer que est semblable à la matrice et déterminer le rang de .

Soit et soit .
II.1. Dans cette question, on suppose que est un vecteur propre commun à et .
II.1.a. Montrer que .
II.1.b. Vérifier que .

Dans toute la suite de cette partie II, on suppose que .

On dit que et vérifient la propriété s'il existe tel que :

II.2. Montrer que si , alors et vérifient la propriété .
II.3. Dans cette question, on suppose que et vérifient la propriété .
II.3.a. Pour tout , on pose . Montrer que définit un endomorphisme de .
II.3.b. En déduire l'existence d'un vecteur propre commun à et .

Pour , on note la propriété suivante :
pour tout -espace vectoriel de dimension et pour tout couple d'endomorphismes de tels que , il existe un vecteur propre commun à et .
II.4. Vérifier la propriété .
II.5. Dans cette question, on suppose que est vérifiée pour tout entier et que et ne vérifient pas la propriété .

On note , on suppose que et on considère une valeur propre de .
II.5.a. Justifier l'existence de tel que et .
II.5.b. Vérifier que où .
II.5.c. Montrer que .
II.5.d. Etablir les inégalités suivantes : .

Pour tout , on pose et .
II.5.e. Montrer que et .

En déduire que et définissent des endomorphismes de .
II.5.f. Montrer l'existence d'un vecteur propre commun à et ; en déduire qu'il en est de même pour et .
II.6. Montrer que pour tout est vraie.

Soit . On note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à .
Pour , on désigne par le polynôme dérivé de .
Pour tout polynôme de , on pose et .
III.1. Soient et . Montrer que .
III.2. Montrer que et définissent des endomorphismes de .
III.3.
III.3.a. Vérifier que si est un vecteur propre de , alors .
III.3.b. Montrer que est vecteur propre de .

Soit correspond à la composée où est prise fois.
III.4.
III.4.a. Vérifier que .
III.4.b. Montrer que .
III.5. Montrer que et possèdent un vecteur propre commun si et seulement si .
désigne la base canonique de définie par : .
On note la matrice de dans la base et celle de dans la même base.
III.6. Déterminer et .
III.7. Dans cette question, on suppose que .
III.7.a. Montrer que et
et en déduire l'expression de et .
III.7.b. Déterminer le rang de pour et .
III.7.c. En déduire que la condition nécessaire de la question II.1.b n'est pas suffisante et que la condition suffisante de la question II. 6 n'est pas nécessaire.

Soit avec . On note tel que .
Soient et un vecteur propre de .
On dit que est sous forme normale si :

Pour tout , on pose : et .
IV.2.
IV.2.a. Montrer que .
IV.2.b. Montrer que les colonnes d'une matrice sont des éléments de .
IV.2.c. Montrer que et définissent des endomorphismes de .
IV.2.d. Vérifier que .
IV.3. Dans cette question, on suppose que possède au moins deux valeurs propres distinctes, notées et .

On considère un vecteur propre de associé à la valeur propre et un vecteur propre de associé à la valeur propre .

On note .
IV.3.a. Montrer que vérifie chacune des propriétés suivantes :
i) ;
ii) ;
iii) ;
iv) .
IV.3.b. En déduire que .
IV.3.c. Dans cette question, on suppose que . Montrer qu'au moins l'une des colonnes de est un vecteur propre de sous forme normale.
IV.3.d. Dans cette question, on suppose que . Montrer que possède un vecteur propre sous forme normale.
IV.4. Dans cette question, on suppose que ne possède qu'une seule valeur propre .
IV.4.a. Montrer l'existence d'une matrice non nulle vérifiant chacune des propriétés suivantes :
i) il existe tel que : ;
ii) il existe tel que : .
IV.4.b. Vérifier que .
IV.4.c. Montrer qu'il existe tel que .
IV.4.d. Dans cette question, on suppose que . Montrer que possède un vecteur propre sous forme normale.
IV.4.e. Dans cette question, on suppose que et . Montrer que possède un vecteur propre sous forme normale.
IV.4.f. Dans cette question, on suppose que et . Montrer que est une matrice inversible et en déduire que .
IV.4.g. Que conclure ?