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CCINP Mathématiques 1 PC 2012

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionPolynômes et fractions
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CCINP
Année
2012
Filière
PC
Matière
Maths
CCINP PCCCINP 2012PC MathsMaths 2012
2025_08_29_3230d3fa54f7f935886dg

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'objectif du problème est de définir et d'étudier la notion de diagonalisabilité d'un couple de matrices dans plusieurs situations.
Les parties I et V traitent chacune un cas particulier, respectivement en dimension 3 et 4. La partie II aborde le cas où B est inversible et la partie IV étudie un critère de diagonalisabilité. La partie III se réduit à l'étude du cas d'un couple de matrices symétriques réelles.
La partie I est indépendante des quatre autres parties. Les parties III, IV et V sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres.
Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Notations et définitions

Soient et deux entiers naturels non nuls, l'ensemble ou et une partie de .
Notons l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans , l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans , l'espace vectoriel des matrices de qui sont symétriques, l'ensemble des matrices diagonales de à coefficients diagonaux dans , l'ensemble des matrices de qui sont inversibles, l'ensemble des matrices de qui sont orthogonales, la matrice identité d'ordre .
Définitions 1: Soient et .
  • On note l'ensemble des matrices-colonnes telles que .
  • On dit que est valeur propre du couple si n'est pas réduit à , c'est-à-dire si n'est pas inversible.
  • On note la fonction définie sur et l'ensemble des valeurs propres du couple ( ), c'est-à-dire l'ensemble des éléments tels que .
Dans le cas particulier où , on remarquera que ces définitions correspondent aux notions de valeur propre, d'espace propre et de polynôme caractéristique de .
Ainsi, et sont notés plus simplement et .

Partie I : DIAGONALISABILITÉ DANS UN CAS PARTICULIER

Soit et .
On note aussi pour et .

I.1.

I.1.a. Montrer que n'est pas inversible.
I.1.b. Montrer que est inversible.
I.1.c. Vérifier que .

I.2.

I.2.a. Montrer que .
I.2.b. En déduire .
I.2.c. Déterminer une base de et en déduire que .

I.3.

I.3.a. Calculer et en déduire que .
I.3.b. Établir les identités suivantes :
I.3.c. En déduire que .

I.4.

I.4.a. Montrer que est une base de formée de vecteurs propres de .
I.4.b. Déterminer explicitement une matrice telle que .
I.4.c. Montrer que .
I.4.d. Justifier qu'il existe et telles que et .
Définitions 2: Soit .
  • On dit que le couple ( ) est régulier s'il existe tel que .
  • On dit que le couple ( ) est équivalent au couple ( ) et on note ( ) ~ ( ) si :
  • On dit que le couple est diagonalisable si :

Partie II : RÉGULARITÉ ET DIAGONALISABILITÉ

II.1. Soit .
II.1.a. On suppose dans cette question que est inversible. Pour , exprimer en fonction de et en déduire que est une fonction polynomiale dont on précisera le degré.
II.1.b. On suppose dans cette question que . Donner un exemple de couple pour lequel est la fonction nulle alors que ni ni n'est la matrice nulle.
II.1.c. Montrer que est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à .

II.2.

II.2.a. Montrer que :
.
II.2.b. Établir que si est équivalent à , alors il existe , non nul, tel que , puis que .
II.3. On suppose dans cette question que ( ) est régulier.
II.3.a. Montrer que :
II.3.b. Montrer que ( ) est régulier.
II.3.c. On suppose dans cette question que et sont deux entiers tels que et des éléments de tels que et . On suppose également que s'écrit sous la forme :
Montrer que 0 est racine de d'ordre de multiplicité et que est de degré .
II.3.d. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
i) est inversible ;
ii) est de degré ;
iii) .
II.4. On suppose dans cette question que est inversible. Montrer que si est diagonalisable, alors ( ) est diagonalisable.
Définitions 3: Soit , c'est-à-dire que est une matrice symétrique réelle. On confondra toute matrice de avec le réel .
  • On dit que est positive si : .
  • On dit que est définie-positive si est positive et inversible.

Partie III : DIAGONALISABILITÉ DANS LE CAS SYMÉTRIQUE

III.1.

III.1.a. Montrer que pour et , alors .
III.1.b. En déduire que pour non nul, .
III.1.c. Montrer que, pour , les propositions suivantes sont équivalentes :
i) est définie-positive ;
ii) ;
iii) il existe et telles que ;
iv) il existe telle que .
Dans le cas où est définie-positive, on pose: .
III.2. Montrer que si est définie-positive, l'application est un produit scalaire sur .
III.3. On suppose dans cette question que avec définie-positive. On suppose alors que est une matrice de telle que et on définit, par III.2, un produit scalaire sur , noté .
III.3.a. Trouver une matrice telle que, pour tout et ,
ùé
III.3.b. Montrer qu'il existe une base de qui soit orthonormale pour le produit scalaire et telle que, pour tout , il existe vérifiant : .
III.3.c. Montrer qu'il existe une base de qui soit orthonormale pour le produit scalaire et telle que, pour tout .
III.3.d. En déduire que le couple est diagonalisable.
III.4. On suppose dans toute la fin de la partie III que le couple ( ) est régulier et que et sont toutes les deux symétriques réelles positives.
III.4.a. Montrer l'existence de tel que soit une matrice symétrique réelle définie-positive.
III.4.b. En déduire que le couple est diagonalisable.
Définitions 4: Soit un couple régulier.
  • Pour , on note l'ordre de multiplicité de en tant que racine de .
  • Si est inversible, on note et .
  • Si n'est pas inversible, on note l'ordre de multiplicité de 0 en tant que racine de et .
On cherche un critère de diagonalisabilité de ( ) faisant intervenir .
  • On dit que vérifie la propriété si :

Partie IV : UN CRITÈRE DE DIAGONALISABILITÉ

Dans toute cette partie, on suppose que . Soit un couple régulier. Il existe donc tel que soit inversible.
Dans toute la suite de la partie IV, on suppose pour simplifier les notations que si bien que est inversible.
On note le degré de et .
Dans les questions suivantes, on pourra être amené à distinguer le cas où est inversible du cas où n'est pas inversible.

IV.1.

IV.1.a. Montrer que .
IV.1.b. Montrer que si , alors .
IV.1.c. Soient des éléments dinstincts de . Justifier que si
ùé
IV.2. Vérifier que , puis que : .
IV.3. On suppose dans toute la suite de la partie que vérifie la propriété .
IV.3.b. Montrer que est diagonalisable.
IV.3.c. Établir que le couple est diagonalisable.
Dans toute la suite du problème, on admettra que si est régulier et que est diagonalisable si et seulement si vérifie la propriété .

Partie V : EXEMPLE DE NON-DIAGONALISABILITÉ

Soit et soit la base canonique de .
On considère l'endomorphisme de tel que :
On note la matrice de dans la base et .
On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est .
Pour sera noté . On définit de plus .
V.1. Donner la forme explicite des matrices et .
V.2. Vérifier que la matrice de dans est :

V.3.

V.3.a. Calculer et .
V.3.b. Montrer que pour .
V.3.c. En déduire, pour , les expressions de et de .
V.3.d. Donner une condition sur pour que ( ) soit régulier.

V.4.

V.4.a. Déterminer et .
V.4.b. Calculer et .
V.4.c. Le couple ( ) est-il diagonalisable ?

Fin de l'énoncé

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