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CCINP Mathématiques 1 PC 2011

Les droites des moindres carrés

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireRéductionGéométrie
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Banque
CCINP
Année
2011
Filière
PC
Matière
Maths
CCINP PCCCINP 2011PC MathsMaths 2011
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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites
Les parties I, II et III sont indépendantes.

Notations et définitions

Soit le plan muni du produit scalaire canonique et du repère orthonormé avec et . La norme associée au produit scalaire canonique sera notée si bien que pour tout .
Pour et deux réels donnés, on définit la droite d'équation dans .
Si a pour coordonnées ( ) dans , on note l'unique point de ayant, dans , la même abscisse que .
On définit aussi la droite d'équation dans , et l'unique point de ayant, dans , la même ordonnée que .

PARTIE I : DROITES DES MOINDRES CARRÉS DANS UN CAS PARTICULIER

Soient et les trois points de dont les coordonnées dans sont respectivement : et où désigne un réel non nul.
On définit deux applications et de dans en posant : pour tout ,
I.1. Montrer que et ne sont pas alignés.
I.2.
I.2.a. Montrer que .
I.2.b. Vérifier que .
I.2.c. En déduire que la fonction admet un minimum sur et que ce minimum est atteint en un unique couple de réels correspondant à la droite, notée , d'équation dans .
I.3.
I.3.a. Déterminer l'expression explicite de en fonction de et .
I.3.b. Montrer que .
I.3.c. En déduire que la fonction admet un minimum sur et que ce minimum est atteint en un unique couple de réels, noté , à déterminer. On note alors la droite d'équation dans .
I.4. Montrer que et sont orthogonales et se coupent en un unique point qui est l'isobarycentre de ( ).

PARTIE II : RÉSULTATS SUR UN ESPACE PRÉHILBERTIEN RÉEL

Soit un espace préhilbertien réel non réduit à et un sous-espace vectoriel de dimension finie de . On note le produit scalaire sur et la norme associée à ce produit scalaire.
II.1. Donner la définition de . Énoncer (sans démonstration) une propriété vérifiée par et valable en général. Dans le cas où est de dimension finie, que peut-on dire de plus?
Pour , on note la projection orthogonale de sur .
II.2. Démontrer que est bien défini et que cette borne inférieure est atteinte en un unique élément de défini par .
Cette borne inférieure est notée . On a donc .
On dit qu'une application de dans est un produit subordonné à si elle vérifie les 4 propriétés suivantes :
i) , l'application est une forme linéaire sur ;
ii) ;
iii) ;
iv) .
II.3.
II.3.a. Montrer que si est un produit subordonné à , alors :
  • ;
  • ;
  • ;
  • .
    II.3.b. Vérifier qu'il existe un unique produit subordonné à .
On note alors ce produit subordonné à et pour , on pose .
II.4. Montrer que pour tout ; à quelle condition sur et peut-on dire que : ?
II.5.
II.5.a. Montrer l'existence d'un élément de , noté , tel que .
On note alors la droite vectorielle engendrée par u et la projection orthogonale sur .
II.5.b. Vérifier que pour tout .
Pour tout élément , on pose .
Pour tout couple , on pose .
II.5.c. Montrer que et que .
On suppose dans la suite de cette partie que et sont deux éléments de E tels que la famille ( ) soit libre.
II.6. Montrer que et sont deux réels strictement positifs.
On pose alors et .

II.7.

II.7.a. Montrer que , que et que .
II.7.b. Vérifier alors que ( ) est une base orthonormale de .
II.7.c. Montrer que est bien défini et vaut .
II.7.d. Établir que .
II.7.e. Vérifier que .
II.7.f. Déterminer, en fonction de et , l'unique couple de réels ( ) tel que :
Dans le plan , on définit comme étant la droite dont l'équation dans est : .
II.8. Montrer que a pour équation dans .
II.9. Montrer de même qu'il existe un unique couple de réels ( ) tel que :
Dans le plan , on définit comme étant la droite dont l'équation dans est : .
II.10. Montrer que a pour équation dans avec le même réel défini précédemment.
II.11. Vérifier que et se coupent en un unique point de coordonnées dans : .
II.12. Montrer que les droites et sont orthogonales si et seulement si .

PARTIE III : BASE ADAPTÉE À UN PRODUIT SCALAIRE DANS UN ESPACE EUCLIDIEN

Soit un espace euclidien de dimension avec .
On note le produit scalaire sur et la norme associée à ce produit scalaire.
Soit une base de . Pour tout élément , on notera la matrice de dans la base , et on posera . Ainsi est la matrice-colonne à lignes donnée par la relation si .
III.1. Vérifier que pour tout si et .
On dit alors que est associée à .

III.2.

III.2.a. Vérifier que si est associée à , alors est une matrice carrée symétrique réelle d'ordre et que le spectre de dans est inclus dans .
III.2.b. À quelle condition sur la matrice associée à est-elle diagonale ?
III.3. On considère deux matrices et carrées d'ordre telles que pour tout et . Montrer que .
Notons une base de et la matrice de passage de à .

III.4.

III.4.a. Pour , on note et . Donner la relation entre , et .
III.4.b. On note . Pour et , donner l'expression de ( ) en fonction de et . En déduire que .
III.4.c. Montrer qu'il existe une base de telle que, pour tout ,
III.4.d. À quelle condition sur la matrice de passage de à la base précédente est-elle une matrice orthogonale?
III.5. Étant donné une matrice diagonale avec des réels strictement positifs sur la diagonale, est-elle la matrice associée à une base de ?
III.6. Soit une base orthonormale de et l'endomorphisme de dont la matrice dans est .
III.6.a. Déterminer le spectre de et une base orthonormale de chaque sous-espace propre de .
III.6.b. est-elle la matrice associée à une base de ?
III.7. Soit et une base orthonormale de .
On note l'endomorphisme de dont la matrice dans est .
III.7.a. Déterminer le spectre de et une base orthonormale de chaque sous-espace propre de .
III.7.b. est-elle la matrice associée à une base de ?
III.8. est-elle la matrice associée à une base de ?
On dit qu'une famille d'éléments de est adaptée si les conditions suivantes sont remplies :
  • pour tout si ;
  • pour tout .
    III.9.
    III.9.a. Montrer qu'une famille adaptée est une base de .
    III.9.b. Montrer l'existence d'une base adaptée.
    III.9.c. admet-il une unique base adaptée ?
    III.9.d. On suppose que est une base adaptée. Pour , déterminer l'expression de (x|y) en fonction des coordonnées de x et de y dans la base .
    III.9.e. Calculer alors la norme du vecteur .

PARTIE IV : DROITES DES MOINDRES CARRÉS DANS LE CAS GÉNÉRAL

Soit un entier supérieur ou égal à 3 .
On considère points distincts du plan qui ne sont pas alignés.
On note leurs coordonnées respectives dans .
On définit deux applications et de dans en posant : pour tout ,
IV.1. Donner un exemple d'espace préhilbertien réel de dimension infinie, puis un exemple d'espace euclidien de dimension (dans les deux cas, on donnera l'expression du produit scalaire).
On considère dans toute la suite du problème un espace euclidien de dimension , dont le produit scalaire et la norme associée sont notés respectivement ( ) et .
IV.2. Justifier l'existence d'une base de telle que :
On pose , si bien que .
On définit alors, à partir des points , deux éléments et dans en posant : et .
IV.3. Montrer que ( ) est une famille libre de .
IV.4. Montrer que pour tout et . IV.5.
IV.5.a. En déduire que admet un minimum sur qui est atteint en un unique couple de réels, noté , et qu'il en est de même de avec un unique couple de réels noté .
Dans le plan , on définit alors les droites et d'équation dans et . On les appelle les droites des moindres carrés associées à .
IV.5.b. Montrer que les droites et se coupent en un unique point qui est l'isobarycentre de ( ).
IV.5.c. À quelle condition sur les , les droites et sont-elles orthogonales? Donner dans ce cas les équations dans de et .
IV.5.d. Donner un exemple de quatre points distincts et non alignés de tels que les droites des moindres carrés et associées à soient orthogonales et donner dans ce cas les équations dans de et .
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