CCINP Mathématiques 1 PC 2010

MATHEMATIQUES 1

Notations et objectifs

PARTIE I

1. Montrer que est diagonalisable.
2. Déterminer une base ( ) de formée de vecteurs propres de et donner la matrice de dans cette nouvelle base.
3. Soit la matrice de passage de la base canonique à la base ( ). Soit un entier . Sans calculer l'inverse de , exprimer en fonction de et .
4. Calculer , puis déterminer la matrice de dans la base canonique.
5. Déterminer toutes les matrices de qui commutent avec la matrice trouvée à la question 2).
6. Montrer que si vérifie , alors et commutent.
7. Déduire de ce qui précède toutes les matrices de vérifiant , puis déterminer tous les endomorphismes de vérifiant en donnant leur matrice dans la base canonique.
   B) Soient et les endomorphismes de dont les matrices respectives et dans la base canonique sont données par :

1. Calculer pour tout entier .
2. En déduire que pour tout . Cette relation est-elle encore valable pour ?
3. Montrer que admet deux valeurs propres distinctes et telles que .
4. Montrer qu'il existe un unique couple ( ) d'endomorphismes de tel que pour tout entier et montrer que ces endomorphismes et sont linéairement indépendants.
5. Après avoir calculé et , trouver tous les endomorphismes , combinaisons linéaires de et qui vérifient .
6. Montrer que est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de . Écrire la matrice de , puis la matrice de et de dans cette nouvelle base.
7. Déterminer une matrice de non diagonale telle que , puis une matrice de non diagonale telle que .
8. En déduire qu'il existe un endomorphisme de vérifiant qui n'est pas combinaison linéaire de et .
9. Montrer que tous les endomorphismes de vérifiant sont diagonalisables.

PARTIE II

1. Calculer . En déduire que est diagonalisable.
2. Montrer que et sont valeurs propres de et qu'il n'y en a pas d'autres.
3. Déduire de la relation trouvée dans la question 1) que puis montrer que et .
4. On suppose jusqu'à la fin de cette partie que .

6. Soit le sous-espace de engendré par et . Déterminer la dimension de .
7. On suppose dans la suite de cette partie que et sont strictement positifs. Déterminer .
8. Soit un entier supérieur ou égal à 2 . Déterminer une matrice de non diagonale et vérifiant .
9. Montrer que si l'ordre de multiplicité de la valeur propre est supérieur ou égal à 2, alors il existe un endomorphisme tel que et .
10. En déduire que si , alors .

PARTIE III

1. Montrer que pour tout , on a :

2. En déduire que , puis que est diagonalisable.
3. Pour tout entier tel que , on considère le polynôme :

4. Vérifier que pour tout couple d'entiers ( ) tels que , on a :

5. Justifier le fait que la somme est directe et égale à et que les projecteurs associés à cette décomposition de sont les .
6. Soit le sous-espace vectoriel de engendré par . Déterminer la dimension de .
7. Déterminer dans le cas où sont des réels positifs ou nuls.
8. Dans cette question, on suppose de plus que .
   8.1) Préciser alors la dimension des sous-espaces propres de .
   8.2) Montrer que si , tout vecteur propre de est également vecteur propre de .
   8.3) En déduire que et donner une condition nécessaire et suffisante sur les pour que soit non vide.
9. Montrer que si et si tous les sont positifs ou nuls, alors .

PARTIE IV

1. Montrer qu'il existe non nul tel que la famille ( ) est libre. En déduire que et que .
2. Montrer que si alors .
3. Déterminer les réels tels que au voisinage de 0 . Dans la suite, désigne le polynôme défini par .
4. Montrer qu'il existe une fonction bornée au voisinage de 0 telle que l'on ait . En déduire que divise .
5. Montrer alors que . Plus généralement, montrer que pour tout réel, , puis que pour tout réel strictement positif, .
   B) 1) Soit une matrice triangulaire supérieure de dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à un réel .

Fin de l'énoncé