CCINP Mathématiques 1 PC 2008

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , on note le -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans et le -espace vectoriel des matrices colonnes à lignes à coefficients dans .
désigne l'ensemble des matrices symétriques de l'ensemble des matrices orthogonales de et la matrice identité d'ordre .

Tout vecteur de est identifié à un élément de tel que l'élément de la ligne de soit . Dans toute la suite, nous noterons indifféremment un élément de aussi bien que le vecteur de qui lui est associé.

Selon le contexte, 0 désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de , soit encore la matrice nulle de .
est muni de son produit scalaire canonique noté et de la norme associée notée .
Une matrice carrée réelle sera dite positive si tous ses coefficients sont positifs ou nuls et on notera dans ce cas . De même un vecteur de sera dit positif si toutes ses composantes sont positives ou nulles et on notera aussi . L'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre , positives et symétriques est noté .

L'objectif de ce problème est d'étudier des conditions pour lesquelles, étant donnés nombres réels distincts ou non, , il existe une matrice carrée réelle d'ordre positive et symétrique admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité, c'est-à-dire dont le polynôme caractéristique est égal à .

Dans la première partie on considérera quelques exemples simples.
Dans la seconde, on montrera que si est une matrice carrée réelle positive et symétrique de plus grande valeur propre , alors est positif, admet pour la valeur propre un vecteur propre positif et toute valeur propre de vérifie .

La troisième partie, assez technique, permettra de connaître les valeurs propres d'une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre construite à partir de deux matrices et carrées réelles positives et symétriques d'ordres respectifs et dont on connaît les valeurs propres.

Enfin la dernière partie donnera des conditions suffisantes pour qu'il existe une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité, réels donnés.

I. 1 Montrer que si sont des réels positifs, distincts ou non, il existe une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre et de valeurs propres , comptées avec multiplicité.
I. 2 a) Soit une matrice carrée réelle d'ordre 2 admettant -1 et 1 pour valeurs propres. Montrer que son polynôme caractéristique est donné par .
b) En déduire une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre 2 admettant pour valeurs propres -1 et 1 .
I. 3 Déterminer une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre 3 admettant pour valeurs propres et 1 .
I. 4 Déterminer une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre 4 admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité : et 1 .
I. 5 Montrer qu'il n'existe aucune matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre 3 admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité : et 0 .
I. 6 a) Pour et réels, on note la matrice carrée d'ordre dont les coefficients diagonaux valent tous et les autres valent tous . Déterminer les valeurs propres de .
b) Une matrice carrée réelle symétrique d'ordre dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles est-elle nécessairement positive ?

II. 1 Soit et . Établir les égalités :
a) .
b) .
c) .
II. 2 Soit et . On note et les matrices de définies par blocs sous la forme

a) Montrer que .
b) Montrer que si sont orthogonaux dans et orthogonaux dans et sont orthogonaux dans .
c) La réciproque est-elle vraie ?

Dans la suite de cette partie désigne une matrice de et une matrice diagonale semblable à . On pose .
II. 3 a) Montrer que pour tout .
b) En déduire que pour tout .
c) En utilisant une décomposition du vecteur sur une base orthonormée de vecteurs propres de , montrer que cette dernière inégalité est une égalité si et seulement si est vecteur propre de associé à la valeur propre .
II. 4 Soit et .
a) Montrer que est un fermé de .
b) Montrer que est un fermé borné de .
c) Soit . Donner l'expression de en fonction des coefficients de et de ceux de ; en déduire que est continue sur .
d) On pose . Justifier l'existence de et montrer qu'il existe appartenant à tel que .
e) Montrer que .
II. 5 On suppose dans cette question .
a) Si est un vecteur propre unitaire de associé à la valeur propre , on pose .
i) Montrer que est élément de .
ii) Montrer que .
iii) Montrer que .
b) En déduire , puis que la matrice admet un vecteur propre positif associé à la valeur propre .
c) Montrer que pour tout .

Soit et deux éléments de deux matrices symétriques réelles d'ordres respectifs et une base orthonormée de formée de vecteurs propres de une base orthonormée de formée de vecteurs propres de et les réels tels que :

Pour tout réel , on note la matrice de donnée sous forme de blocs par :

et on considère les vecteurs de définis par , ainsi que les vecteurs de définis par .
III. 1 Montrer que et sont vecteurs propres de et préciser les valeurs propres correspondantes.
III. 2 Pour réel, on note le vecteur défini par
a) Montrer que est unitaire dans .
b) Déterminer le spectre de .
c) On suppose dans cette question . On note l'unique réel de l'intervalle tel que :

et on pose .
i) Montrer que est non nul.
ii) Évaluer le produit .
iii) Montrer que et vérifient l'équation :

iv) En déduire que et sont vecteurs propres de et exprimer les valeurs propres correspondantes et en fonction de et .
v) Montrer que les vecteurs forment une base orthonormée de et donner l'ensemble des valeurs propres de .
vi) Montrer que les formules exprimant et en fonction de et donnent encore des valeurs propres de lorsque .

Dans cette partie on se propose de démontrer par récurrence la propriété ( ) suivante : si est un élément de tel que :

alors il existe tel que soient les valeurs propres de comptées avec multiplicité.
IV. 1 Vérifier que ( ) est vraie.
IV. 2 Soit tel que soit vraie et soit vérifiant :

On pose .
a) Montrer qu'il existe tel que soient valeurs propres de . Dans la suite de cette question IV.2, désignera une telle matrice.
b) Montrer que admet un vecteur propre unitaire et positif associé à la valeur propre .
c) Pour réel, soit la matrice de définie par :

i) Vérifier que est bien de la forme (1) : préciser et .
ii) En déduire les valeurs propres de .
iii) Montrer que si , les valeurs propres de sont : et conclure.

a) Déterminer le spectre de la matrice
b) Déterminer une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre 4 , admettant pour valeurs propres .