CCINP Mathématiques 1 PC 2006

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout le problème, et désignent deux espaces vectoriels euclidiens de dimensions au moins égales à 2. Pour chacun de ces espaces, le produit scalaire de deux vecteurs et et la norme d'un vecteur sont respectivement notés ( ) et .
désigne l'ensemble des applications linéaires de dans .
La matrice transposée d'une matrice est notée .
Les candidats pourront utiliser sans le redémontrer qu'un projecteur d'un espace euclidien est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique.

L’objet de la première partie est de caractériser la composée de deux projections orthogonales qui commutent. La seconde partie propose une résolution approchée d'une équation linéaire n'ayant pas de solution en introduisant la notion de pseudo-solution et la troisième partie généralise la notion d'inverse d'une matrice carrée à une matrice rectangulaire en introduisant la notion de pseudo-inverse.

I. 1 Soit et deux vecteurs de une base orthonormale de et les matrices respectives de et dans la base . Montrer que : .
I. 2 Soit un sous-espace vectoriel de tel que . Soit une base orthonormale de et le projecteur orthogonal de sur .
a) Pour tout , exprimer (sans justification) dans la base .
b) Soit une base orthonormale de . Relativement à cette base , on note la matrice d'un vecteur de la matrice de et pour tout la matrice de .
i) Montrer que pour tout .
ii) En déduire .
c) Montrer que pour tout .
I. 3 Exemple : On note la matrice définie par

a) Montrer que est la matrice dans la base canonique de , muni du produit scalaire usuel, d'un projecteur orthogonal de .
b) Donner une base orthonormale du noyau et une base orthonormale de l'image de ce projecteur.
I. 4 Soit un second sous-espace vectoriel de le projecteur orthogonal de sur une valeur propre non nulle de or et un vecteur propre associé.
a) Montrer que est élément de et que est élément de .
b) Établir l'égalité : .
c) En déduire que toutes les valeurs propres de or sont dans le segment .
I. 5 On suppose dans cette question que et commutent.
a) Montrer que est un projecteur orthogonal.
b) Dans le cas où est non nul, déterminer son spectre.
c) Montrer que : et .
I. 6 On pose et on choisit une base orthonormale de telle que les matrices de et dans cette base soient respectivement les matrices décomposées en blocs:

où est la matrice unité d'ordre une matrice carrée d'ordre et une matrice carrée d'ordre .
a) Montrer que les matrices vérifient les relations :

b) Montrer que les quatre conditions suivantes sont équivalentes :
i) Le spectre de or est inclus dans .
ii) .
iii) .
iv) et commutent.

Dans cette partie, sont donnés un élément de et un élément de .
II. 1 En considérant la projection orthogonale de sur l'image de , montrer qu'il existe un élément de tel que :

Dans la suite sera appelée une pseudo-solution de l'équation :

II. 2 Montrer que si est injective, alors l'équation () admet une pseudo-solution unique.
II. 3 Montrer que est pseudo-solution de l'équation () si et seulement si pour tout appartenant à .
II. 4 Soit et deux bases orthonormales de et respectivement. On appelle la matrice de dans les bases et la matrice de dans et celle de dans . Ecrire sous forme matricielle l'équation et en déduire que est pseudo-solution de l'équation (*) si et seulement si :

II. 5 Exemple : Dans cette question, on prend munis du produit scalaire usuel. Relativement à la base canonique de , les matrices de et sont respectivement :

Déterminer les pseudo-solutions de l'équation .
II. 6 Application : désignant un entier supérieur ou égal à deux, on considère trois éléments de et on souhaite trouver deux réels et tels que la somme soit minimale.
a) Montrer que ce problème équivaut à la recherche des pseudo-solutions d'une équation où est un élément de . Préciser le vecteur et donner la matrice de dans les bases canoniques de et .
b) Comment doit-on choisir et pour que l'application soit injective?
c) Lorsque cette dernière condition est réalisée, donner la solution du problème posé en exprimant et à l'aide de produits scalaires dans .

Dans cette partie, désigne toujours un élément de .
III. 1 a) Soit un élément de . Montrer qu'il existe deux vecteurs et tels que :

b) Montrer qu'un tel couple ( ) est unique. On peut alors définir l'application de vers qui à fait correspondre .
c) Montrer que l'application est linéaire. sera appelée l'application pseudo inverse de .
III. 2 Déterminer le noyau et l'image de .
III. 3 a) Montrer que est le projecteur orthogonal de sur .
b) Montrer que est le projecteur orthogonal de sur .
III. 4 Premier exemple : On prend munis de leur produit scalaire usuel. La matrice de relativement aux bases canoniques est

Déterminer la matrice de relativement aux bases canoniques.
III. 5 Dans cette question, on suppose que et que est un endomorphisme symétrique.
a) Montrer que et .
b) Montrer que tout vecteur propre de est vecteur propre de . (On pourra discuter suivant que la valeur propre associée est nulle ou non).
c) En déduire que est aussi un endomorphisme symétrique de .
III. 6 Deuxième exemple : On prend muni du produit scalaire usuel. La matrice de relativement à la base canonique est

Déterminer la matrice de relativement à la base canonique.