CCINP Mathématiques 1 PC 2002

SESSION 2002

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les ruisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit et des entiers supérieurs ou égaux à 1 . désignant le corps des réels ou celui des complexes, on note le -espace vectoriel des matrices à coefficients dans ayant lignes et colonnes. Lorsque est noté plus simplement et est muni de sa structure d'algèbre, représentant la matrice identité.
désigne la matrice nulle de et la matrice nulle de .
désigne l'ensemble des matrices inversibles de et l'ensemble des matrices carrées d'ordre triangulaires supérieures à éléments dans .
Tout vecteur de est identifié à un élément de tel que l'élément de la ème ligne de soit . Dans toute la suite, nous noterons indifféremment un élément de aussi bien que le vecteur de qui lui est associé.
Pour dans et dans , on note le coefficient de la ligne de .
Pour toute matrice de , on note l'ensemble des valeurs propres complexes de et on appelle rayon spectral de le réel défini par :

Conformément à l'usage, on note la norme définie sur par :

On qualifie de norme matricielle toute norme définie sur vérifiant la propriété :

étant de dimension finie, on rappelle qu'une suite de matrices de converge vers une matrice de si et seulement si la convergence a lieu dans muni d'une norme quelconque.

Une matrice de est dite trigonalisable si et seulement si il existe et tels que .
I. 1 Pour fixé, on suppose que toute matrice de est trigonalisable et on considère une matrice de .
a) Montrer que admet au moins une valeur propre.
b) Soit une valeur propre de . Montrer qu'il existe et tels que :

c) En déduire qu'il existe et tels que :

d) On pose . Montrer que est inversible et exprimer .
e) Calculer et en déduire que est trigonalisable.
I. 2 Déduire de la question précédente que pour tout entier supérieur ou égal à 1 , toute matrice de est trigonalisable.
I. 3 Soit la matrice .
a) La matrice est-elle diagonalisable ?
b) On note la base canonique de . Montrer que admet un unique vecteur propre dont la première composante dans la base est égale à 1 et vérifier que ( ) est une base de .
c) On note la matrice de passage de à . Calculer et en déduire, en s'inspirant de la méthode décrite aux questions I.1 et I.2, et telles que .
I. 4 Soit . Si est une matrice triangulaire supérieure semblable à , que représentent les éléments diagonaux de ?
I. 5 Soit et deux matrices triangulaires supérieures de .
a) Montrer que est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont .
b) Pour , quels sont les éléments diagonaux de ?
I. 6 Montrer que pour toute matrice de , .
I. 7 Montrer que l'application est une norme sur , mais n'est pas en général une norme matricielle sur .
I. 8 En admettant l'existence de normes matricielles sur (la suite du problème montrera effectivement cette existence), montrer que pour toute norme définie sur , il existe une constante réelle positive telle que :

I. 9 Soit une suite de matrices de , et . Montrer que la suite converge vers si et seulement si la suite converge vers .
I. 10 a) Soit un élément de . Pour tout , calculer et en déduire que la suite converge si et seulement si ou et .
b) Soit diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres de pour que la suite soit convergente.
c) Soit non diagonalisable. Montrer que la suite est convergente si et seulement si . Dans ce cas, préciser .
d) Soit . Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que la suite converge vers la matrice nulle.

Soit une matrice de et une norme quelconque sur . On pose:

II. 1 a) Montrer que pour tout .
b) Montrer qu'il existe une constante réelle telle que :

c) Montrer que l'ensemble possède une borne supérieure dans . On notera dans la suite :

d) Montrer que : .
e) On reprend dans cette question la matrice introduite en I.3. Déterminer un vecteur de tel que et . En déduire la valeur de .
II. 2 Soit un entier compris entre 1 et tel que . En considérant le vecteur de de composantes définies par :

montrer que et en déduire .
II. 3 Montrer :
a) .
b) .
c) En déduire : .
d) .
e) .
f) Déduire de ces résultats que est une norme matricielle sur . On lui donne le nom de norme matricielle subordonnée à la norme .
II. 4 a) En considérant une valeur propre de telle que , montrer que :

b) Donner un exemple simple de matrice non nulle vérifiant .
c) Montrer que si est nilpotente non nulle, on a l'inégalité stricte :

II. 5 Montrer que si , alors .

Dans toute la suite du problème, on admettra que, réciproquement, si , alors .
II. 6 a) Montrer que pour tout entier naturel non nul : .
b) Montrer que pour tout .
c) Soit et . Vérifier que et en déduire l'existence d'un entier naturel tel que :

d) En déduire .

Une matrice de est dite positive (resp. strictement positive) et on note (resp. ) si et seulement si tous ses coefficients sont positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Si et sont deux matrices de , on note (resp. ) si et seulement si (resp. ).
Notons que grâce à l'identification de et , on pourra parler de vecteur de positif ou strictement positif.
III. 1 Donner un exemple de matrice montrant que les conditions et n'impliquent pas nécessairement .
III. désignent des matrices de .
a) Montrer que si et , alors .
b) Montrer que si , alors pour tout .
c) Montrer que si , alors .
d) Montrer que si , alors .
e) Montrer que si , il existe tel que et en déduire .
III. 3 Soit une matrice positive de telle que la somme des termes de chaque ligne soit constante égale à . Montrer que est valeur propre de et que :

III. 4 Soit une matrice positive de . Pour tout , on note la somme des termes de la ligne de et . On définit la matrice par si et si . Montrer à l'aide de la matrice ainsi construite que :

III. 5 Soit une matrice positive de et un vecteur strictement positif de .

On note la matrice diagonale de ayant pour termes diagonaux . Calculer les éléments de la matrice et en déduire :

III. 6 Soit une matrice positive de . Montrer que si admet un vecteur propre strictement positif, alors la valeur propre associée est et :