Durée : 4 heures

Soit un entier supérieur ou égal à 1 . Pour entier supérieur ou égal à désigne le espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant lignes et colonnes et désigne le -espace vectoriel des matrices à coefficients complexes ayant lignes et colonnes. On identifiera à , que l'on supposera muni de son produit scalaire canonique noté ( ).

Lorsque et sont notés plus simplement et et sont munis de leur structure d'algèbre, représentant la matrice identité.

Pour appartenant à désigne la matrice transposée de : c'est un élément de désigne la matrice nulle de .

Si est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension représenté par la matrice dans une base donnée, on note ou l'ensemble des valeurs propres de ou son polynôme caractéristique et ou sa trace. En outre, si appartient à , on note l'ensemble des valeurs propres de , lorsque est considérée comme un élément de .
est le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, est le -espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes et est l'ensemble .

I. 1 Soit et la matrice de donnée par :

a) Si est non inversible, montrer sans recourir au déterminant, que est non inversible.
b) Si est inversible, on pose . Résoudre alors dans l'équation matricielle .
c) Retrouver le résultat connu : .

Dans toute la suite désigne un endomorphisme de .
I. 2 Soit un sous-espace vectoriel de stable par . Si désigne l'endomorphisme induit par sur , montrer que divise .

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I. 3 Pour tout élément de , on définit l'ensemble par :

Montrer que est un sous-espace vectoriel de stable par .
I. 4 Dans cette question, on suppose que est un élément non nul de .
a) Montrer l'existence d'un plus petit entier naturel pour lequel la famille de vecteurs est liée.
b) Soit une famille de nombres réels non tous nuls telle que et le polynôme de défini par . Montrer que est non nul, puis que est une base de .
c) Pour tout , on pose et on note l'endomorphisme induit par sur . Montrer que , donner la valeur de et en déduire que le polynôme caractéristique de est un polynôme annulateur de .

II. 1 Vérifier les propriétés suivantes :
a)
b)
c)
II. 2 Soit . Montrer que définit un produit scalaire sur . Dans toute la suite ce produit scalaire sera noté .
II. 3 A partir de cette question, désignent des entiers naturels inférieurs ou égaux à .
a) Evaluer le produit par blocs .
b) Soit une matrice de rang . Montrer qu'il existe dans et dans telles que .
c) Montrer qu'une matrice de est de rang 1 si et seulement s'il existe deux matrices non nulles et de telles que .
d) Montrer que la décomposition de la question précédente n'est pas unique et déterminer les relations vérifiées par des matrices colonnes telles que

II. 4 a) Soit et deux familles libres de vecteurs de . Montrer que la famille de matrices est de rang égal à .
b) Soit et deux bases de . Que peut-on dire de la famille de matrices ?
c) Soit et deux familles de vecteurs de de rangs respectifs et . Déterminer le rang de la famille de matrices .

II. 5 Montrer que si les bases et sont des bases orthonormales de , la famille est une base orthonormale de muni du produit scalaire défini en II.2. La réciproque est-elle vraie?
II.6 Soit une matrice de de rang 1 .
a) Montrer que .
b) Soit et deux éléments non nuls de tels que . Montrer l'équivalence des quatre propositions suivantes :
i) .
ii) .
iii) .
iv) est non diagonalisable.
II. 7 Montrer que les matrices de , diagonalisables et de rang 1 engendrent .

Pour toutes matrices et de on note l'endomorphisme de défini par :

et l'endomorphisme de défini par :

III. 1 Soit et les matrices de données par :

a) Déterminer et .
b) On considère la base de et on note la matrice dans cette base de l'endomorphisme . Déterminer , puis et vérifier que :

c) Montrer que et sont diagonalisables dans . En est-il de même de ?

Soit maintenant et quelconques dans . On se propose d'étudier les liens existant entre la diagonalisabilité de et et celle de .
III. 2 Soit et . Montrer qu'il existe tel que :

En déduire l'inclusion : .
III. 3 Montrer que si et sont diagonalisables dans , il en est de même de . Calculer dans ce cas .
III. 4 On note les valeurs propres non nécessairement distinctes de dans . En exprimant en fonction des , montrer que la matrice est inversible si et seulement si .
III. 5 Soit et un vecteur propre associé.
a) Montrer que pour tout polynôme de , on a la relation :

b) Montrer que est non inversible.
c) En déduire en utilisant III. 2 et III. .
III. 6 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe non nulle dans telle que .

Dans toute la suite du problème, on suppose et on considère l'endomorphisme que l'on notera plus simplement .
III. 7 On suppose diagonalisable dans et on note une base de vecteurs propres de , chaque vecteur étant associé à la valeur propre . Pour tout , on définit la matrice de par :

a) Montrer que la famille de matrices est une base de .
b) Montrer que pour tout :

et en déduire que les matrices sont des vecteurs propres de .
c) On note les valeurs propres distinctes de leurs ordres de multiplicité respectifs et . Montrer que :

d) Montrer que et que l'égalité a lieu si et seulement si admet valeurs propres distinctes.
e) On note . Montrer que si les valeurs propres de sont distinctes, constitue une base de et en déduire que dans ce cas .
III. 8 On suppose diagonalisable et on note une base de vecteurs propres de , chaque matrice étant associée à la valeur propre . Montrer que si est un vecteur propre de associé à la valeur propre , la famille est une famille génératrice de et en déduire que est diagonalisable.