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CCINP Mathématiques 1 MP 2020

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesAlgèbre linéaire
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CCINP
Année
2020
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2020MP MathsMaths 2020
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 4 mai :

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé d'un problème qui comprend quatre parties indépendantes.

Objectifs

L'objectif de la partie I est de montrer l'existence d'un développement ternaire propre pour certains nombres réels.
La partie II propose l'étude d'une série de fonctions où les coefficients du développement ternaire sont remplacés par une fonction continue.
La partie III étudie des développements ternaires aléatoires.
La partie IV définit et présente quelques propriétés de la fonction de Cantor-Lebesgue.

Notations

On note l'ensemble des suites réelles à valeurs dans :
On désigne par l'ensemble des suites réelles bornées et on pose .
On note la partie entière d'un réel .

PARTIE I - Développement ternaire

Étude de l'application

Q1. Démontrer que est un espace vectoriel réel et que l'application est une norme sur .
Q2. Pour , démontrer que la série de terme général est convergente.
On note alors :
Q3. Démontrer que l'application est une forme linéaire continue sur .
Q4. Démontrer que si , alors le réel est dans l'intervalle .
Q5. On note et les éléments de définis par :
Calculer et . L'application est-elle injective sur ?

Développement ternaire propre

On fixe . On définit une suite par :
Q6. Démontrer que .
Q7. On définit deux suites réelles et par :
Démontrer que les suites et sont adjacentes de limite . En déduire que :
Que peut-on en conclure concernant l'application ?
La suite est appelée développement ternaire propre de .
Q8. Informatique pour tous. Écrire en langage Python une fonction d'arguments un entier naturel n et un flottant x et qui renvoie sous forme d'une liste les premiers chiffres définis dans la question précédente du développement ternaire de .
Par exemple flotVersTern(4, 0.5) renvoie [ ].
Q9. Informatique pour tous. Si est une suite finie d'entiers de , on la complète avec des 0 pour en faire un élément de encore noté .
Écrire en langage Python une fonction ternVersFlot d'arguments une liste d'entiers . Cette fonction renvoie en sortie le flottant . Par exemple ternVersFlot([1,1,1,1]) renvoie
Q10. Informatique pour tous. Si est une suite finie d'entiers de , on lui ajoute un élément égal à -1 si la somme est paire et un élément égal à -2 sinon. Ce dernier élément permet alors d'essayer de détecter d'éventuelles erreurs de transmission. Écrire en langage Python une fonction ajout qui ajoute à la liste un élément comme expliqué précédemment et qui renvoie la nouvelle liste.
Écrire en langage Python une fonction verif( ) qui renvoie True si la valeur du dernier élément de est correcte et False sinon.
Par exemple ajout([ ]) renvoie et verif( ) renvoie False.

PARTIE II - Étude d'une fonction définie par une série

Dans cette partie, on définit une fonction à l'aide d'un développement en série analogue au développement ternaire propre d'un réel, mais où la suite est remplacée par une fonction numérique à valeurs dans l'intervalle .
Pour tout réel on pose :

Étude de l'application

Q11. Démontrer que est définie et de classe sur .
Q12. Pour tout réel, justifier l'écriture :
et en déduire une expression simple de en fonction de et .
Q13. Pour , en déduire une expression simple de en fonction de .
Q14. À l'aide de démontrer que :
puis en calculant la somme de la série du second membre, en déduire la valeur de l'intégrale :
Q15. Retrouver cette valeur par un calcul direct.

PARTIE III - Développements ternaires aléatoires

Dans cette partie, est une suite de variables aléatoires discrètes réelles, mutuellement indépendantes, définies sur un même espace probabilisé et vérifiant :
Soit fixé. On pose:
On admet que est une variable aléatoire discrète réelle définie sur ( ).
Q16. Démontrer que admet une espérance et une variance. Donner leur valeur en fonction de .
Q17. Justifier que, pour tout :
Q18. Soit , démontrer que :
En déduire que, pour tout :

PARTIE IV - Fonction de Cantor-Lebesgue

Dans cette partie, on va définir et étudier la fonction de Cantor-Lebesgue.

Étude d'une suite de fonctions

On note la fonction définie sur par . Pour tout entier , on pose :
Q19. Représenter l'allure graphique des fonctions et sur trois schémas différents (pour on envisagera sept sous-intervalles de ).
Pour tout , démontrer que est à valeurs dans .
Q20. Informatique. Écrire en langage Python une fonction récursive cantor( ) qui renvoie la valeur de .
Q21. Pour tout entier , démontrer que :
Q22. En déduire que la suite de fonctions converge uniformément sur .
La limite de la suite de fonctions est notée .
On l'appelle fonction de Cantor-Lebesgue.
Q23. Démontrer que la fonction est à valeurs dans et qu'elle est croissante et continue sur . Démontrer aussi qu'elle est surjective de vers .
La fonction est aussi nommée «escalier du diable». Les développements ternaires étudiés en début de problème permettent d'obtenir une expression analytique de .

FIN

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