CCINP Mathématiques 1 MP 2017

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

On définit deux fonctions :

Q1. Justifier que les fonctions et sont différentiables en tout vecteur et écrire la matrice jacobienne de puis de en .
Q2. Pour , déterminer l'image d'un vecteur par l'application linéaire en utilisant les deux méthodes suivantes :

On admet que et on pose .
Q3. Démontrer que la famille est sommable et calculer sa somme.
Q4. Démontrer que la famille n'est pas sommable.

Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d'énergie ou pour décomposer un signal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d'une série de fonctions trigonométriques.

Nous allons nous intéresser à l'aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période .
Dans ce qui suit, on appelle "série trigonométrique" une série de fonctions du type :

Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, on s'intéresse plus particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur .

On notera l'espace vectoriel des fonctions continues et -périodiques de dans .
Pour une fonction élément de , on notera, pour tout entier naturel :

Q5. Démontrer que la série trigonométrique converge normalement sur . Pour tout entier , déterminer la somme de la série puis en déduire la valeur de (il n'est pas utile de réduire au même dénominateur).
Q6. Écrire la fonction comme la somme d'une série trigonométrique. On pourra écrire la fonction comme la somme d'une série de fonctions.
Q7. Donner un exemple de suite de limite nulle, telle que la série trigonométrique ne converge pas simplement sur .
Q8. On admet que la série trigonométrique converge simplement sur . Converge-t-elle normalement sur ?

Q9. Démontrer que si les séries et sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique converge normalement sur .

Q10. Soient et deux réels quelconques.
Démontrer que le maximun sur de la fonction est .
Q11. Démontrer que si la série trigonométrique converge normalement sur , alors les suites et convergent vers 0 et les séries et sont absolument convergentes.

Q12. On note la somme d'une série trigonométrique qui converge normalement sur . Justifier que .
Q13. Calculer pour et donner la valeur de pour .
Q14. On note la somme d'une série trigonométrique qui converge normalement sur : pour tout réel . Démontrer que pour tout
entier naturel non nul puis exprimer en fonction de . On pourra utiliser sans démonstration que pour .
On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel non nul et (la démonstration n'est pas demandée).
Q15. Soit . Pour tout réel , on pose . Pour tout entier , on pose . On suppose ici que la série trigonométrique converge normalement sur vers une fonction notée :

Quelles relations a-t-on dans ce cas entre et ? et ?

Q16. Il est admis que si une fonction vérifie, pour tout entier naturel , alors est la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel .
En résumé, lorsque la série trigonométrique d'une fonction converge normalement sur , pour tout réel , on a :

Q17. Si est une fonction paire, que vaut ? Exprimer, sans démonstration, en fonction de l'intégrale .

Q18. Exemple. Soit définie ainsi : pour tout et est -périodique sur . Construire la courbe de cette fonction paire sur l'intervalle puis déterminer, pour tout entier naturel, les coefficients et . Donner une série trigonométrique qui converge normalement sur vers .
Q19. En déduire les sommes: et . Déduire alors de la somme .
Q20. Application. Justifier que la fonction est intégrable sur l'intervalle puis démontrer que .
Q21. La somme d'une série trigonométrique qui converge normalement sur est-elle nécessairement une fonction dérivable sur ?
Proposer une condition suffisante sur les séries et pour que la somme de la série trigonométrique , qui converge normalement sur , soit une fonction dérivable sur .

Q22. Déterminer la somme de la série trigonométrique .