CCINP Mathématiques 1 MP 2016

Mardi 3 mai :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

On considère l'équation différentielle .
I.1. Existe-t-il des solutions non nulles de l'équation ( ) développables en série entière sur un intervalle de ?

II.1. Démontrer que la famille est sommable et calculer sa somme.
II.2. Soit et deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé à valeurs dans . On suppose que la loi conjointe du couple ( ) vérifie :

II.2.a. Vérifier que la relation ci-dessus définit bien une loi conjointe.
II.2.b. Démontrer que les variables aléatoires et suivent une même loi.
II.2.c. Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?

III.1.a. Soit , démontrer que la fonction est intégrable sur .
III.1.b. On note, pour tout (fonction Gamma d'Euler).

Démontrer que pour tout .
III.1.c. Démontrer que la fonction est dérivable sur puis exprimer sous forme d'intégrale.
III.2. Pour tout entier , on pose .
III.2.a. Utiliser un théorème du cours pour justifier simplement que la série converge.
III.2.b. Pour tout entier , on pose .

Démontrer que la suite converge.

La limite de la suite sera notée dans tout le sujet ( est appelée la constante d'Euler). Dans la suite de ce problème, on définit pour tout appelée fonction Digamma.

III.3. Pour et pour tout entier , on définit la fonction sur telle que : pour tout et pour tout .
III.3.a. Démontrer que pour tout .

En déduire que pour tout entier , pour tout et tout .
III.3.b. En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que pour tout , .
III.4. On pose, pour entier naturel et pour .
III.4.a. Après avoir justifié l'existence de l'intégrale , déterminer, pour et pour , une relation entre et .
III.4.b. En déduire, pour entier naturel et pour une expression de .
III.4.c. Démontrer que, pour tout (formule de Gauss).
III.5. Pour tout entier , on note toujours .

En remarquant que pour et , démontrer que pour tout (formule de Weierstrass).

III.6.a. En déduire que la série converge simplement sur .
III.6.b. On pose, pour tout . Démontrer que l'application est de classe sur et exprimer comme somme d'une série de fonctions.
III.6.c. En déduire que, pour tout . On rappelle que pour tout .

III.7.a. Que vaut ? En déduire la valeur de l'intégrale .
III.7.b. Calculer, pour tout puis démontrer que, pour tout entier .
III.7.c. On pose, pour tout et entier naturel, .

Démontrer que la série converge uniformément sur .
En déduire .
III.8. Déterminer l'ensemble des applications définies sur et à valeurs réelles vérifiant les trois conditions:

III.9. Une urne contient boules numérotées de 1 à .

On effectue un premier tirage d'un boule dans l'urne et on adopte le protocole suivant:
si on a tiré la boule numéro , on la remet alors dans l'urne avec nouvelles boules toutes numérotées .
Par exemple, si on a tiré la boule numéro 3 , on remet quatre boules de numéro 3 dans l'urne (la boule tirée plus 3 nouvelles boules numéro 3 ).

On effectue ensuite un deuxième tirage d'une boule.
On note (respectivement ) la variable aléatoire égale au numéro de la boule choisie au premier tirage (respectivement au deuxième tirage).
III.9.a. Déterminer la loi de la variable aléatoire ainsi que son espérance .
III.9.b. Déterminer la loi de la variable aléatoire et vérifier que pour tout entier naturel non .
III.9.c. Calculer l'espérance . On pourra utiliser, sans démonstration, que