CCINP Mathématiques 1 MP 2015

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

I.1. Soit une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre . Déterminer sa fonction génératrice, puis en déduire son espérance et sa variance.

On note et on définit pour entier naturel non nul et pour .
II.1. Justifier que pour tout entier naturel non , les fonctions sont intégrables sur et calculer . Que vaut alors la somme ?
II.2. Démontrer que la série de fonctions converge simplement sur . Déterminer sa fonction somme et démontrer que est intégrable sur . Que vaut alors ?
II.3. Donner, sans aucun calcul, la nature de la série .

Toutes les fonctions étudiées dans ce problème sont à valeurs réelles. On pourra identifier un polynôme et la fonction polynomiale associée.

On rappelle le théorème d'approximation de Weierstrass pour une fonction continue sur : si est une fonction continue sur , il existe une suite de fonctions polynômes ( ) qui converge uniformément vers la fonction sur .

Le problème aborde un certain nombre de situations en lien avec ce théorème qui sera démontré dans la dernière partie.

III.1. Soit la fonction définie sur l'intervalle par : .

Expliquer pourquoi ne peut être uniformément approchée sur l'intervalle par une suite de fonctions polynômes. Analyser ce résultat par rapport au théorème de Weierstrass.
III.2. Soit entier naturel non nul, on note l'espace vectoriel des fonctions polynômiales sur , de degré inférieur ou égal à . Justifier que est une partie fermée de l'espace des applications continues de dans muni de la norme de la convergence uniforme.

Que peut-on dire d'une fonction qui est limite uniforme sur d'une suite de polynômes de degré inférieur ou égal à un entier donné?
III.3. Cette question illustre la dépendance d'une limite vis-à-vis de la norme choisie.

Soit l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Soient et deux applications définies sur ainsi:
pour tout polynôme de et .
III.3.a. Vérifier que est une norme sur . On admettra que en est également une.
III.3.b. On note la fonction définie sur l'intervalle ainsi :
pour tout , pour tout et pour tout .
Représenter graphiquement la fonction sur l'intervalle et justifier l'existence d'une suite de fonctions polynômes qui converge uniformément vers la fonction sur .

Démontrer que cette suite de polynômes converge dans muni de la norme vers et étudier sa convergence dans muni de la norme .

III.4. Soit une fonction continue sur . On suppose que pour tout entier naturel , est le moment d'ordre de sur .
III.4.a. Si est une fonction polynôme, que vaut l'intégrale ?
III.4.b. Démontrer, en utilisant le théorème de Weierstrass, que nécessairement est la fonction nulle. On pourra utiliser sans le démontrer le résultat suivant: si est une suite de fonctions qui converge uniformément vers une fonction sur une partie de et si est une fonction bornée sur , alors la suite de fonctions ( ) converge uniformément sur vers la fonction .

Soit l'espace vectoriel des applications continues de dans muni du produit scalaire défini pour tout couple d'éléments de par .

On note le sous-espace vectoriel de formé des fonctions polynômes définies sur et l'orthogonal de . Déterminer . A-t-on ?

III.6.a. Pour tout entier naturel , on pose . Après avoir démontré l'existence de ces intégrales, établir une relation entre et et démontrer que, pour tout non nul, .
III.6.b. En déduire que, pour tout entier naturel .
III.6.c. Proposer une fonction continue sur , non nulle et vérifiant :

III.6.d. Expliquer pourquoi la fonction proposée à la question précédente ne peut être uniformément approchée sur par une suite de polynômes.

Soit , on note et on pose, pour tout . On définit la suite par et la relation de récurrence valable pour tout entier naturel par:

Démontrer que la suite ( ) converge et déterminer, en fonction du réel , sa limite.
III.8. Proposer un exemple de suite de fonctions continues sur qui converge simplement mais non uniformément sur vers une fonction qui est continue. Il sera possible de s'appuyer sur une représentation graphique sans nécessairement donner sous forme analytique.

Pour traiter la suite de cette partie, on pourra admettre le résultat suivant. Soit ( ) une suite de fonctions continues sur qui converge simplement vers une fonction elle même continue sur . Si la suite est croissante, c'est-à-dire: pour tout entier naturel et pour tout , , alors la suite converge uniformément vers la fonction sur .

Soit la suite de fonctions polynômes définie par:

III.9.a. Justifier que la suite converge simplement vers la fonction sur l'intervalle :
III.9.b. Démontrer que la suite converge uniformément vers la fonction sur l'intervalle .

On propose dans cette partie une démonstration probabiliste du théorème d'approximation de Weierstrass pour une fonction continue sur .

Dans toute cette partie, est une fonction continue, un entier naturel non nul et . On pose: (polynôme de Bernstein).
III.10. Soit une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale .
III.10.a. Démontrer que, pour tout réel .
III.10.b. Soit la variable aléatoire , démontrer que son espérance vérifie:

III.11.a. Soit , justifier simplement qu'il existe tel que pour tout couple , entraîne , puis majorer , pour tout entier entre 0 et vérifiant .

III.11.c. Démontrer qu'il existe un entier naturel tel que pour tout et tout réel , , puis conclure.