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CCINP Mathématiques 1 MP 2010

Phénomène de Gibbs

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)Suites et séries de fonctions
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CCINP
Année
2010
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2010MP MathsMaths 2010
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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie.
Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE 1

On considère la fonction de dans définie par :
  1. Démontrer que la fonction admet des dérivées partielles premières en ( 0,0 ) que l'on déterminera.
  2. Démontrer que la fonction est différentiable en .

EXERCICE 2

  1. Rappeler la définition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé.
  2. Soit et deux espaces vectoriels normés, et une application continue de dans . Si est une partie compacte de , démontrer que est une partie compacte de . L'image réciproque par d'une partie compacte de est-elle nécessairement une partie compacte de ?

PROBLÈME : PHÉNOMÈNE DE GIBBS

Partie préliminaire

  1. (a) Justifier que la fonction est intégrable sur l'intervalle .
On pose .
(b) Rappeler le développement en série entière en 0 de la fonction sinus et déterminer, avec soin, une suite vérifiant .
2. (a) Démontrer que la suite converge et que la suite est décroissante.
(b) Si , majorer , en utilisant la question (a).
En déduire, en précisant la valeur de utilisée, une valeur approchée du réel à près.

Première partie : Phénomène de Gibbs

On considère la fonction définie sur impaire et de période vérifiant :
  1. On pose pour tout entier naturel non nul et réel,
Démontrer, à l'aide d'une série de Fourier, que la suite de fonctions converge simplement vers la fonction sur . La convergence est-elle uniforme sur ?
4. Sur un même graphique, uniquement à l'aide d'une calculatrice, tracer sur l'intervalle la courbe de la fonction et l'allure de la courbe de la fonction . Puis sur un autre graphique, tracer sur l'intervalle la courbe de la fonction et l'allure de la courbe de la fonction .
Que constate-t-on sur les courbes des fonctions lorsque se rapproche de 0 par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures?
Cette particularité est appelée phénomène de Gibbs.
5. On pose pour entier naturel non nul et réel,
(a) Démontrer que ,
Dans la suite de cette question 5 ., on considère deux nombres réels et tels que et .
(b) Justifier qu'il existe une constante telle que pour tout entier naturel non nul et tout .
(c) Démontrer que l'on peut trouver une suite de réels ( ) convergeant vers 0 et telle que pour tout entier naturel non nul et tout .
En commençant par observer que , on pourra chercher à majorer, pour tout couple ( ) d'entiers naturels non nuls et tout . Que peut-on en déduire concernant la série de Fourier de la fonction ?
6. (a) Calculer pour tout et déterminer la plus petite valeur qui annule sur .
(b) Démontrer que, pour et entier naturel non nul, puis que .
(c) Démontrer que la suite converge et préciser sa limite.
On pourra utiliser sans démonstration : pour .
7. Démontrer que la suite ne converge pas vers 0 .

Deuxième partie : Démonstration du théorème de convergence normale

Pour une fonction continue par morceaux de dans et de période , on note pour tout :
  1. Rappeler le théorème de Parseval (avec les coefficients ) pour une fonction continue par morceaux de dans et de période .
    Dans le cas où la fonction est de plus continue sur , justifier que si pour tout , alors est la fonction nulle.
    Ce résultat reste-t-il valable si la fonction est seulement continue par morceaux de dans et de période ?
  2. Soit une fonction continue de dans et de période dont la série de Fourier converge uniformément sur vers une fonction :
(a) Justifier que l'application est continue sur puis pour tout entier , exprimer, avec soin, en fonction de .
(b) Démontrer que .
10. Dans cette question, est une fonction continue de dans , de période et de classe par morceaux.
On pose pour entier naturel non nul et réel,
(a) Déterminer une relation entre et .
(b) Démontrer que pour tout réel,
(c) Démontrer, avec soin, que la série de fonctions converge normalement sur et préciser vers quelle fonction.
(d) Énoncer le théorème que l'on vient de démontrer.
Le phénomène de Gibbs peut-il se produire pour cette fonction ?

Fin de l'énoncé

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