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CCINP Mathématiques 1 MP 2009

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Banque
CCINP
Année
2009
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2009MP MathsMaths 2009
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants.

Exercice 1

On considère l'équation différentielle :
  1. Résoudre ( ) sur chacun des intervalles et .
  2. En déduire que admet une unique solution sur .

Exercice 2

  1. Justifier que la fonction est intégrable sur .
Dans la suite de cet exercice, on se propose de calculer :
  1. Soit et les fonctions définies sur par :
(a) Démontrer que les fonctions et sont de classe sur et déterminer leur dérivée.
(b) Prouver que pour tout réel positif on a : .
En déduire que la fonction est constante de valeur .
(c) Démontrer que pour tout réel on a : .
(d) En déduire la valeur de .

Problème : Théorème du point fixe et applications

Le but de ce problème est de démontrer le théorème du point fixe de PICARD, ce qui fait l'objet de la partie I, et d'en voir plusieurs applications élémentaires dans les parties suivantes. Les parties II, III et IV sont indépendantes entre elles.
Soit un espace vectoriel normé.
Une définition. Soit . On dira qu'une application est une contraction stricte de rapport lorsque pour tout , on a :
Une notation. Pour entier naturel et , on notera l'application définie par:

Partie I : Le théorème du point fixe de Picard

Dans cette partie est un espace de Banach et est une contraction stricte de rapport .
Pour on considère la suite définie par et pour tout entier naturel.
  1. Pour tout entier naturel, on pose .
    (a) Démontrer que pour tout entier naturel, on a puis que
En déduire que la série converge.
(b) Démontrer alors que la suite converge vers un vecteur de .
(c) Prouver que est un point fixe de c'est-à-dire que .
(d) Démontrer que admet en fait un unique point fixe.
On vient donc de démontrer le résultat suivant :
THÉORÈME DU POINT FIXE DE PICARD : Dans un espace de Banach , une application qui est une contraction stricte admet un unique point fixe et pour tout dans la suite des itérés converge vers ce point fixe.

Partie II : Exemples et contre-exemples

  1. Sur la nécessité d'avoir une contraction stricte
On considère ici la fonction définie par :
(a) Démontrer que pour tout réel, on a . En déduire que l'on a pour et réels :
(b) La fonction admet-elle un point fixe? Est-elle une contraction stricte?

3. Un exemple

Soit une fonction continue telle que, pour tout réel, on ait :
ù
(a) On considère la suite définie par et pour tout entier naturel. Démontrer en utilisant le théorème de PICARD que cette suite converge vers un réel que l'on précisera.
(b) Démontrer que pour tout entier naturel et tout réel, on a : .
(c) En déduire que est constante.

4. Un système non linéaire dans

On s'intéresse dans cette question au système :
On munit de la norme définie par : et on considère l'application définie par:
(a) Pourquoi l'espace vectoriel normé ( ) est-il complet?
(b) Démontrer que pour tout et réels, on a:
(c) Prouver que est une contraction stricte de dans .
(d) En déduire que le système admet une unique solution dans .
(e) Ici est muni de la norme définie par qui en fait un espace de Banach.
Déterminer .
L'application est-elle encore une contraction stricte pour la norme ?
Quel commentaire peut-on faire?

Partie III : Une équation intégrale

  1. Soit l'espace vectoriel des applications bornées de dans . Pour dans on pose :
On note aussi l'espace vectoriel des applications continues de dans .
(a) Démontrer soigneusement que est une norme sur . On admettra pour la suite que ( ) est un espace de Banach.
(b) Vérifier que .
(c) Démontrer le résultat suivant du cours :
si ( ) est un espace vectoriel normé et si ( ) est une suite d'applications continues de dans qui converge uniformément sur vers une application alors est continue.
(d) En déduire que ( ) est aussi un espace de Banach.
6. On considère une application continue ainsi que . Pour réel, on note l'application qui à une fonction de associe la fonction définie par :
(a) Justifier que l'application est bornée et atteint ses bornes.
On pose .
(b) Démontrer que est un élément de .
(c) On suppose que . Vérifier que est une contraction stricte de ( ) et en déduire qu'il existe une unique application dans telle que :

Partie IV : Une application géométrique

  1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal on considère un vrai triangle avec et sur l'axe des abscisses.
    Soit un point de l'axe des abscisses. On note :
  • le projeté orthogonal de sur ;
  • le projeté orthogonal de sur ;
  • le projeté orthogonal de sur .
On obtient donc une application qui à l'abscisse de associe l'abscisse de . On appelle et les mesures respectives des angles et .
(a) Pour et points distincts de ( ), justifier l'égalité (lorsque ) :
(b) Démontrer que est une contraction stricte de . Que peut-on en déduire?
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