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CCINP Mathématiques 1 MP 2008

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Suites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)
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Banque
CCINP
Année
2008
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2008MP MathsMaths 2008
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Les calculatrices sont autorisées.

NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

AUTOUR DE LA FONCTION ZETA ALTERNÉE DE RIEMANN

Objectifs : On note la fonction zeta alternée de Riemann définie par
et la fonction zeta de Riemann définie sur par
Ce problème propose une étude croisée de quelques propriétés de et .
Mise à part la partie III. qui utilise des résultats de la partie I., les parties sont dans une très large mesure indépendantes.

I. Généralités

  1. Déterminer l'ensemble de définition de .
  2. On considère la suite de fonctions définies sur [ 0,1 [ par
Déterminer la limite simple de puis, en utilisant le théorème de convergence dominée, montrer que . En déduire la valeur de .
3. Démontrer que la série de fonctions converge normalement sur . En déduire la limite de en .
4. Dérivabilité de F
(a) Soit . Étudier les variations sur de la fonction et en déduire que la suite est monotone à partir d'un certain rang (dépendant de ) que l'on précisera.
(b) Pour , on pose .
Si est un réel strictement positif, démontrer que la série des dérivées converge uniformément sur .
En déduire que est une fonction de classe sur .
5. Lien avec
Calculer, pour en fonction de et de . En déduire que :
Puis en déduire la limite de en .

II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même

On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries et est la série où . Dans cette partie, on veut déterminer la nature selon la valeur de , de la série , produit de Cauchy de par elle-même.
Cette étude va illustrer le fait que le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas nécessairement une série convergente.
Dans toute cette partie, désigne un entier supérieur ou égal à 2 et un réel strictement positif.
6. Étude de la convergence
(a) Indiquer sans aucun calcul la nature et la somme en fonction de de la série produit , lorsque .
(b) Démontrer que pour .
En déduire pour , la nature de la série .
7. Cas où
On suppose dans cette question 7 . que .
(a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle .
En déduire une expression de en fonction de où (somme partielle de la série harmonique).
(b) Déterminer la monotonie de la suite .
(c) En déduire la nature de la série .

III. Calcul de la somme d'une série à l'aide d'une étude de zeta au voisinage de 1 .

  1. Développement asymptotique en 1
    (a) Écrire en fonction de et de le développement limité à l'ordre 1 et au voisinage de 1 de la fonction puis déterminer le développement limité à l'ordre 2 et au voisinage de 1 de la fonction .
    (b) En déduire deux réels et qui s'écrivent éventuellement à l'aide de et tels que l'on ait pour au voisinage de :
  1. Développement asymptotique en 1 (bis)
On considère la série de fonctions où est définie sur [1,2] par
(a) Justifier que pour et , on a :
(b) Justifier que pour , la série converge. On note alors (c'est la constante d'Euler).
(c) Exprimer pour , la somme à l'aide de et .
(d) Démontrer que la série de fonctions converge uniformément sur (on pourra utiliser le reste de la série).
(e) En déduire que l'on a pour au voisinage de :
  1. Application
Déduire des résultats précédents une expression à l'aide de et de la somme

IV. Calcul des à l'aide des nombres de Bernoulli

Dans cette partie, on se propose d'établir une formule permettant de calculer la valeur des avec un entier . Pour cela, on introduit les polynômes et nombres de Bernoulli. désigne la -algèbre des polynômes à coefficients réels. On identifie un polynôme et sa fonction polynomiale associée.
On dit qu'une suite ( ) de est une suite de polynômes de Bernoulli si elle vérifie les propriétés suivantes :
On admet qu'il existe une et une seule suite de polynômes de Bernoulli que l'on notera ( ). On l'appelle la suite de polynômes de Bernoulli.
On pose est appelé le -ième nombre de Bernoulli.
11. Calculer et . En déduire et .
12. Calculer pour .
13. Symétrie
Démontrer que pour tout , on a .
14. Développement en série de Fourier
Soit un entier naturel. On définit l'application de dans par :
éé
Justifier avec soin qu'il existe une unique suite de réels telle que pour tout réel , on ait :
  1. Expression des coefficients
    (a) Soient et . Montrer que l'on a:
(b) En déduire la valeur de pour .
(c) Conclure que pour et , on a :
On remarquera pour la suite (sans le redémontrer) que cette formule reste vraie pour .
16. Conclusion
Déterminer pour une relation entre et .
17. Calcul effectif des
(a) Démontrer en utilisant une formule de Taylor que pour tout , on a
(b) En déduire une relation de récurrence permettant de calculer les nombres de Bernoulli sans avoir à déterminer les polynômes de Bernoulli associés. Écrire, dans un des langages au programme, un petit algorithme permettant d'obtenir la valeur de pour un entier donné.

Fin de l'énoncé

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