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CCINP Mathématiques 1 MP 2007

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Banque
CCINP
Année
2007
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2007MP MathsMaths 2007
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

EXERCICE

On considère la fonction définie par : .
a. On pose , justifier que la fonction est bornée sur et y atteint sa borne supérieure. On pose alors .
b. Montrer que si la borne supérieure est atteinte en un point de l'ouvert alors nécessairement .
c. Déterminer le maximum de la fonction sur la frontière de et le comparer à (on pourra utiliser la calculatrice).
Déterminer .

PROBLÈME : ÉCHANGES DE LIMITES ET D'INTÉGRALES

Toutes les fonctions de ce problème sont à valeurs réelles.

PARTIE PRÉLIMINAIRE

Les résultats de cette partie seront utilisés plusieurs fois dans le problème.

1. Fonction Gamma d'Euler

a. Soit , montrer que la fonction est intégrable sur .
On pose, pour .
b. Déterminer, pour , une relation entre et et en déduire pour tout entier naturel non nul .

2. Fonction zêta de Riemann

On rappelle que la fonction zêta est définie sur .
On connaît , on sait que pour entier pair, est de la forme où est un rationnel ; il a été démontré que certains pour entiers impairs sont irrationnels mais on ne sait pas s'ils le sont tous.
On se propose de rechercher des valeurs approchées de ces réels .
a. On note, pour entier naturel non nul et réel . Prouver que, pour entier naturel non nul et réel .
b. On fixe l'entier et un réel . Indiquer une valeur de pour laquelle on a .
c. Donner, en utilisant la calculatrice, une valeur approchée de à près.

PREMIÈRE PARTIE : SUITES DE FONCTIONS

Préliminaire: Dans les questions 3 à 5 suivantes, on n'utilisera pas pour les démonstrations le théorème de convergence dominée, énoncé à la question 6 .
3. Théorème de convergence uniforme pour les suites de fonctions
Démontrer le théorème suivant que l'on notera TH1:
si est une suite de fonctions continues sur le segment qui converge uniformément vers une fonction sur , alors, la suite de réels converge vers le réel .
On commencera par donner un sens à l'intégrale juste en énonçant un théorème.

4. Exemples et contre-exemples

a. Déterminer une suite ( ) de fonctions continues et affines par morceaux sur le segment qui converge simplement mais non uniformément vers une fonction sur et telle que la suite de réels ne converge pas vers le réel .
Remarque: on peut se contenter d'une vision graphique et, dans ce cas, il est inutile d'exprimer , mais on attend une justification des deux propriétés demandées.
b. Si est une suite de fonctions continues sur le segment , démontrer qu'il est possible que la suite de réels converge vers le réel sans que la convergence de la suite de fonctions ne soit uniforme sur .

5. Cas d'un intervalle quelconque

a. Montrer à l'aide de la suite de fonctions définies sur par
que le TH 1 n'est pas vrai si on remplace l'intervalle par un intervalle non borné.
Remarque : on pourra utiliser la formule de Stirling sans la démontrer.
b. Nous allons prouver que le TH 1 est vrai sur un intervalle borné .
On considère ( ) une suite de fonctions continues et intégrables sur intervalle borné, qui converge uniformément vers une fonction .
i. Justifier l'existence d'un entier naturel tel que, pour tout réel , et en déduire que est intégrable sur .
ii. Montrer que la suite de réels converge vers le réel . On notera la longueur de l'intervalle .

6. Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions

On rappelle le théorème suivant que l'on notera :
si ( ) est une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle qui converge simplement sur vers une fonction continue par morceaux sur et s'il existe une fonction continue par morceaux et intégrable sur telle que, pour tout entier naturel et tout réel : alors, la fonction est intégrable sur et la suite de réels converge vers le réel .
a. Rappeler pourquoi il est inutile de vérifier, lorsqu'on utilise ce , que les fonctions sont intégrables sur et justifier que est intégrable sur .
b. Exemples
i. Montrer à l'aide d'un exemple simple que ce théorème peut être pratique sur un segment sur lequel la suite de fonctions ( ) ne converge pas uniformément vers la fonction .
ii. Calculer .

DEUXIÈME PARTIE : SÉRIES DE FONCTIONS

  1. Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions
Justifier, simplement, à l'aide du TH 1 le théorème suivant que l'on notera TH 3 :
si est une série de fonctions continues sur le segment qui converge uniformément sur , alors, la série de réels converge et :
  1. Application : séries trigonométriques et séries de Fourier
On appellera série trigonométrique une série de fonctions du type où et sont deux suites de réels.
La série de Fourier d'une fonction -périodique et continue par morceaux sur est donc une série trigonométrique.
a. Montrer qu'une série trigonométrique n'est pas toujours la série de Fourier d'une fonction -périodique et continue par morceaux sur .
Pour cela, utiliser la série de fonctions avec le théorème de Parseval que l'on commencera par énoncer.
b. Montrer qu'une série trigonométrique qui converge uniformément sur est la série de Fourier d'une fonction -périodique et continue sur .
On utilisera sans démonstration les résultats classiques pour et entiers naturels: et .

9. Intégration terme à terme d'une série de fonctions

On rappelle le théorème suivant que l'on notera TH 4 :
si est une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle qui converge simplement vers une fonction continue par morceaux sur telle que la série converge, alors est intégrable sur , la série converge et

Application : théorème de Hardy

On suppose que est une série de réels absolument convergente.
a. Montrer que la série de fonctions converge simplement vers une fonction continue sur .
b. Montrer que la fonction est intégrable sur et exprimer comme la somme d'une série numérique.

10. Cas où les théorèmes TH 3 et TH 4 ne s'appliquent pas

a. Montrer que, la série de fonctions ne converge pas uniformément sur l'intervalle borné (donc les hypothèses du théorème TH 3 ne sont pas toutes vérifiées).
b. Montrer que, pour la série de fonctions sur , les hypothèses du théorème TH 4 ne sont pas toutes vérifiées.
c. Montrer que, néanmoins, converge et :

11. Théorème de convergence monotone

Soit une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle qui converge simplement vers une fonction continue par morceaux sur .
On suppose que toutes les fonctions sont positives sur et que la fonction est intégrable sur .
On pose, pour tout entier naturel non nul et tout .
Montrer que la suite de fonctions ( ) vérifie les hypothèses du théorème de convergence dominée TH 2, et en déduire que :
la série converge et .

12. Application à la physique

a. Calculer, après avoir justifié son existence, l'intégrale .
On détaillera toutes les étapes et on pourra remarquer que, pour , on a .
Cette intégrale intervient notamment dans la théorie du rayonnement du corps noir.
La loi de Planck donne l'expression de la densité spectrale d'énergie électromagnétique rayonnée par le corps noir, en fonction de la longueur d'onde par la formule :
où et sont les constantes de Planck et de Boltzmann, la célérité de la lumière dans le vide, la longueur d'onde et la température.
Ainsi, la densité volumique totale d'énergie électromagnétique (rayonnée sur tout le spectre des longueurs d'onde) s'écrit : .
Si on note l'exitance totale d'un corps noir on sait que et sont liés par la relation .
b. Démontrer la loi de Stefan : où .

13. Généralisation

a. Exprimer de même pour réel , l'intégrale en fonction de et .
b. En déduire la valeur de et une valeur approchée de .
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