NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Pour toute fonction , continue par morceaux et de période , on associe ses coefficients de Fourier exponentiels définis, pour , par et ses coefficients de Fourier trigonométriques définis par :

On pose, pour tout entier naturel et tout réel :

On rappelle le théorème de convergence normale :
Si est une fonction continue de période et de classe par morceaux, la série de Fourier de converge normalement vers la fonction sur .
Ainsi, la fonction est limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques .
Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème l'hypothèse «de classe par morceaux ».
Une première partie démontre des résultats préliminaires.
Une deuxième partie traite d'un exemple où, sans l'hypothèse «de classe par morceaux», la série de Fourier peut diverger.

Une troisième partie recherche une condition plus faible pour que, sans l'hypothèse «de classe par morceaux », on puisse quand même assurer que la série de Fourier de converge uniformément vers la fonction sur |.

Soit ( ) une suite de complexes qui converge vers le complexe .
a. Justifier, simplement, en utilisant un théorème de sommation de relations de comparaison, que : au voisinage de .
b. En déduire que la suite converge vers .
4. Soit une fonction continue et de période dont la somme de Fourier de rang est notée . Pour entier naturel non nul, on définit la somme de Fejér de de rang , notée comme la moyenne de Cesàro des sommes de Fourier :

On démontre, et nous l'admettrons, le théorème de Fejér :
«La suite de polynômes trigonométriques converge uniformément sur vers la fonction .

Si est une fonction continue et de période telle que la suite converge simplement sur , montrer que la suite converge vers la fonction .
5. Si ( ) est une suite de réels positifs qui converge vers 0 , montrer qu'il existe une suite de réels ( ) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel (on pourra, par exemple, vérifier que la suite convient).

On considère la suite de fonctions définies sur l'intervalle pour tout entier naturel non nul par : .
6. Montrer que la série de fonctions converge normalement sur .

On définit alors la fonction paire, continue, de période sur et telle que pour tout réel .
7. On pose, pour et entiers naturels, et, pour entier naturel, .
a. Calculer, pour et entiers naturels, l'intégrale .
b. Pour et entiers naturels, déterminer un réel positif tel que et en déduire que, pour tout couple ( ) d'entiers naturels, .
c. Déterminer, pour au voisinage de , un équivalent simple de .
d. En déduire que, pour au voisinage de .
8. Montrer que, pour entier naturel non nul, .
9. Montrer que, pour entier naturel non nul, (on remarquera que : ).
Conclure que la suite diverge.

Pour deux réels on note l'ensemble des subdivisions de l'intervalle .

Si est une fonction de et , on note :

On dira que la fonction est à variation bornée s'il existe un réel positif tel que pour toute , l'on ait: .
On appelle alors variation totale de sur le réel positif noté :

Montrer que chacune des restrictions de aux intervalles et est à variation bornée et que: .
Remarque : on peut même montrer qu'il y a égalité mais ce ne sera pas utile pour ce problème.
13. Soit une fonction continue et de période telle que la restriction de à l'intervalle soit à variation bornée.
Pour entier relatif et entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision de définie, pour entier compris entre 0 et , par : .
Pour entier compris entre 1 et , on notera la variation totale de sur l'intervalle .
a. Vérifier que : .
b. Montrer que : .
c. En déduire que pour tout entier non nul, .
14. Soit ( ) une suite de complexes, on pose, pour tout entier naturel , et .
On suppose que la suite ( ) converge vers un complexe et on suppose qu'il existe une constante réelle non nulle telle que, pour tout entier naturel .
a. Pour et entiers naturels non nuls, exprimer, à l'aide des termes de la suite , l'expression : .
b. Soit une suite de réels ( ) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel , montrer que, pour et entiers naturels non nuls :
.
c. L'entier naturel non nul étant donné, on choisit tel que ( est donc la partie entière de ).
Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a : . Que peut-on en déduire?
15. Montrer que la série de Fourier d'une fonction continue et de période telle que la restriction de à l'intervalle soit à variation bornée converge uniformément vers la fonction .
16. Montrer que la série de Fourier de la fonction de la question 2. converge uniformément sur vers la fonction .
17. Application

Montrer que la série de Fourier d'une fonction , de période et lipschitzienne converge uniformément sur vers la fonction .

Fin de l'énoncé