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CCINP Mathématiques 1 MP 2003

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesAlgèbre générale
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Banque
CCINP
Année
2003
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2003MP MathsMaths 2003
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE

Notations :

On note l'espace vectoriel des applications continues de dans .
On désigne par l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de dans de degré inférieur ou égal à où est un entier naturel.
On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale.
Si est un élément de , on pose .
Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I.

I. Polynômes de Tchebychev

Dans toute cette partie, désigne un entier naturel.
  1. Existence et unicité
    a) Déterminer un polynôme à coefficients réels de degré vérifiant la propriété (*):
(on pourra remarquer que est la partie réelle de ).
b) Montrer qu'un polynôme vérifiant (*) est unique.
On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice , on le note .
On définit alors une fonction polynomiale sur par :
  1. a) Montrer que (on pourra calculer ).
    b) Calculer .
    c) Donner le coefficient du terme de plus haut degré de .
  2. Racines et extrema
    a) Montrer que où .
    b) On pose pour dans .
Calculer puis montrer que :
et que: .
Les réels sont appelés points de Tchebychev.
c) Dessiner le graphe de , préciser sur le graphe les réels .

II. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité

Orthogonalité des
4. Montrer que pour toute fonction de , l'application est intégrable sur .
Pour et éléments de , on pose .
5. a) Soit une fonction positive de , montrer que si alors est la fonction nulle.
b) Montrer que , é.
Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur : pour tout élément de , on pose
  1. Calculer selon les valeurs des entiers naturels et . En déduire pour tout entier naturel que la famille est une base orthogonale (pour , .

Polynôme de meilleure approximation quadratique

Dans toute la suite de la partie II., désignera un élément de et un entier naturel.
On pose .
Le but de la suite de la partie II. est d'exprimer en fonction des .
7. a) Enoncer un théorème justifiant l'existence et l'unicité d'un vecteur dans tel que .
b) Exprimer à l'aide des polynômes de Tchebychev.
On dit que est le polynôme de meilleure approximation quadratique de sur .
8. Montrer que .
9. a) En déduire que la série est convergente.
b) Que pensez-vous de la limite de lorsque tend vers ?

Convergence en norme quadratique

  1. a) Soit un élément de , montrer que .
    b) Montrer en utilisant un théorème de Weierstrass que : .
  2. a) En déduire que .
    b) Application : un théorème des moments.
Que peut-on dire d'une fonction de telle que pour tout entier naturel , ?

III. Polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev

Dans toute cette partie, désigne un entier naturel et un élément de .
On note .
On dit qu'un élément de , est un polynôme de meilleure approximation (on notera en abrégé PMA) au sens de Tchebychev de d'ordre , s'il vérifie une des deux conditions équivalentes :
(i)
(ii) .

Existence d'un PMA d'ordre pour

On pose
12. a) Montrer que est une partie non vide fermée et bornée de .
b) En déduire que est une partie compacte non vide de .
13. a) Montrer que .
b) En déduire qu'il existe un élément de tel que . est donc un PMA d'ordre de .

Condition suffisante pour être un PMA

Soit un élément de . On dit que équioscille sur points s'il existe réels de l'intervalle , tels que
(on dit que les extrema sont alternés).
14. Exemples
a) Dessiner le graphe d'une fonction de telle que et équioscille sur 4 points. (on ne cherchera pas à expliciter une telle fonction).
b) Montrer que le polynôme de Tchebychev d'indice équioscille sur points.
Le but de la question 15. est de montrer le résultat suivant:
Si est un élément de tel que équioscille sur points, alors est un PMA d'ordre de .
15. Soit un élément de tel que équioscille sur points que l’on note .
Soit un élément de tel que .
a) Soit , montrer que si alors .
On a de même, que si alors .
b) En déduire que et conclure.

Détermination de PMA

  1. Dans cette question, pour , on prend et on pose:
    .
    Montrer que est un PMA d'ordre de .
  2. En déduire que pour tout polynôme unitaire de degré , on a .
  3. a) Dans cette question, est un polynôme de degré .
Déterminer un PMA d'ordre de .
b) Application : déterminer un PMA d'ordre 2 de .
Remarque : On peut montrer l'unicité du PMA.
Il n'existe pas de formule générale qui donne l'expression du PMA d'une fonction quelconque. On peut cependant utiliser un algorithme (de Remes) qui fournit une suite de polynômes qui converge vers le PMA.
Fin de l'énoncé
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