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CCINP Mathématiques 1 MP 2002

Produits infinis

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Intégrales à paramètresSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Banque
CCINP
Année
2002
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2002MP MathsMaths 2002
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à là clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Autour des produits infinis

Si est un entier naturel et si est une suite de réels non nuls, on lui associe la suite définie pour tout entier naturel par .
On dit que le produit infini . de terme général , converge si la suite converge vers un nombre fini non nul. On notera alors sa limite.
Si la suite n'admet pas de limite finie ou si elle converge vers 0 on dit que le produit diverge.

I. Généralités et exemples

  1. En considérant le quotient , montrer que, pour que le produit infini converge, il est nécessaire que la suite converge vers 1.
  2. Soit une suite de réels non nuls qui converge vers 1.
    a. Montrer qu'il existe un entier naturel tel que pour tout entier .
    b. Montrer que les produits infinis et sont de même nature.
  3. On suppose dans cette question que ( est une suite de réels strictement positits.
    a. Montrer que le produit infini converge si et seulement si la série converge.
    b. Montrer que le produit infini converge si et seulement si la séric converge.
    c. Si, de plus, pour tout entier naturel on a , montrer que le produit infini converge si et seulement si la séric converge.
  4. Déterminer la nature des produits infinis suivants :
    a. .
    b. pour réel, .
    c. pour réel, .
  5. Application : Un peu d'histoire...
    a. Retrouver, en utilisant un produit infini, que la série harmonique diverge.
    b. Si est entier naturel , que vaut ?
    c. On note la suite des nombres premiers rangés dans l'ordre croissant: .
Voici un extrait d'un texte écrit par Leonhard Euler (mathématicien suisse) en 1737 («Introduction à l'analyse infinitésimale»):
«...Donc la série est toujours composée d'un nombre infini de termes, quelque soit le nombre des facteurs infinis ou finis.
Par exemple, on aura etc. série où se trouvent tous les nombres qui peuvent être formés seulement par la multiplication du nombre deux ; r'est-àdire toutes les puissances de deux.
On aura ensuite . On ne retrouve ici que les nombres formés par la combinaison des nombres 2 et 3, ou qui n'ont d'autres diviseurs que 2 et 3. Donc, si au lieu de , etc., on écrit l'unité divisée par tous les nombres premiers, et qu'on suppose , on aura ., série qui comprend tous les nombres, tant les nombres premiers que ceux qui en sont formés par la multiplication. Or, comme tous les nombres sont ou des nombres premiers ou des nombres composés de ceux-ci par la multiplication, il est évident qu'on doit trouver ici tous les nombres entiers dans les dénominateurs... »
Utiliser librement ce texte pour montrer que la série diverge.

II. Développement eulérien du sinus et formule de Wallis

Pour réel et non entier, on définit l'application de période par :
Pour réel tel que , on pose .
6. Développer en série de Fourier et en déduire que .
7. Soit , on définit la fonction sur par :
a. Montrer que la fonction est continue sur et calculer .
b. Montrer que pour tout .
c. Montrer que et en déduire le développement eulérien de : pour tout .
8. Application : Déterminer (Formule de Wallis).

III. Formule de Weierstrass et constante d'Euler

  1. Soil
    a. Montrer que la fonction est intégrable sur .
On pose, pour (Fonction Gamma d'Euler).
b. Calculer .
c. Montrer que la fonction est dérivable sur et déterminer sous forme d'intégrale.
10. Soit la suite de fonctions définies sur par:
a. Montrer que pour tout .
b. En déduire que, pour tout .
11. On pose pour entier naturel et pour .
a. Déterminer, pour , une relation entre et .
b. En déduire, pour entier naturel et pour .
c. Démontrer la formule de Gauss :
  1. Application :
    a. Montrer que, pour tout .
    b. Déterminer alors, pour tout , une expression simple de . (Formule des compléments).
    c. En déduire .
  2. Pour tout entier . On pose
    a. Expliquer simplement pourquoi la série converge.
    b. Pour tout entier . on pose .
Montrer que la suite converge. Sa limite notée est la constante d’Euler.
14. Démontrer la formule de Weierstrass:
pour tout .
(Cette formule permet, par un produit infini complexe de définir la fonction pour tout , .
15. Application :
a. Montrer que, pour tout .
b. En déduire .
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