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CCINP Mathématiques 1 MP MPI 2025
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries et familles sommablesIntégrales généralisées
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 1
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
EXERCICE I
Q1. Soit une application
Justifier que
Q2. On considère l'application
Justifier que
Q2. On considère l'application
On note pour tout
a) Démontrer que
a) Démontrer que
Préciser le vecteur
b) Démontrer que
On pourra tracer la boule unité de
b) Démontrer que
On pourra tracer la boule unité de
EXERCICE II
On pose pour tout
On se propose de déterminer le réel
On se propose de déterminer le réel
Q3. Première méthode
Déterminer le seul point critique de la fonction
En admettant que ce minimum est global, donner la valeur du
En admettant que ce minimum est global, donner la valeur du
Q4. Deuxième méthode
Sur l'espace vectoriel euclidien
On note
On note
Déterminer la valeur de
On note
On note
Déterminer la valeur de
PROBLÈME Autour du théorème de comparaison avec une intégrale
Dans ce problème, on se propose de démontrer le théorème de comparaison avec une intégrale, puis de traiter des exemples et des applications. On terminera par deux contre-exemples.
Partie I - Théorème de comparaison avec une intégrale
Dans cette partie,
On pose, pour tout entier naturel
On pose, pour tout entier naturel
Q5. Préciser la monotonie des suites
Q6. Démontrer que pour tout entier
Q7. Démontrer enfin les deux résultats :
(1)
(2) La série
(1)
(2) La série
Q8. Un exemple.
On pose pour
a) Étudier la monotonie de la fonction
b) Dans le cas où
On pose pour
a) Étudier la monotonie de la fonction
b) Dans le cas où
Q9. Une application.
On pose pour
a) En utilisant le résultat (2) de la question Q7., établir que la suite (
b) Justifier que, au voisinage de
On pose pour
a) En utilisant le résultat (2) de la question Q7., établir que la suite (
b) Justifier que, au voisinage de
Q10. Une application sur une série de fonctions.
On considère la série de fonctions
a) Étudier la convergence normale de cette série de fonctions sur
b) On pose pour
On considère la série de fonctions
a) Étudier la convergence normale de cette série de fonctions sur
b) On pose pour
Établir que, pour
c) En déduire que, pour tout
d) Déterminer
c) En déduire que, pour tout
d) Déterminer
La série de fonctions
Partie II - Contre-exemples
Q11. On pose pour
a) Calculer pour
a) Calculer pour
On pourra remarquer que
On note
b) Établir que pour
On note
b) Établir que pour
La fonction
Q12. On se propose de construire un contre-exemple d'une fonction
Pour tout entier
Dessiner l'allure d'une courbe de fonction
Démontrer que cette fonction
Pour tout entier
Dessiner l'allure d'une courbe de fonction
Démontrer que cette fonction
FIN