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CCINP Mathématiques 1 MP MPI 2024

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementEquations différentiellesIntégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)
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Banque
CCINP
Année
2024
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
CCINP MP/MPICCINP 2024MP/MPI MathsMaths 2024
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE I

est une variable aléatoire à valeurs dans d'espérance finie.
Q1. Exprimer, pour non nul, en fonction de et de .
Démontrer que pour tout .
Démontrer le résultat de cours : .
Q2. Soit . Une urne contient boules numérotées de 1 à . On effectue, de façon équiprobable, tirages successifs avec remise et on note le plus grand nombre obtenu. Calculer, pour tout entier naturel , puis donner la loi de .
Q3. Calculer , puis en utilisant la Q1., déterminer un équivalent pour au voisinage de de .

EXERCICE II

On considère les équations différentielles :

(H):
On note l'ensemble des solutions de l'équation ( ) sur et l'ensemble des solutions de l'équation ( ) sur .
Q4. Donner, en justifiant, la dimension de l'espace vectoriel .
Q5. Démontrer qu'il existe une unique solution de ( ) sur développable en série entière sur .
Vérifier que pour tout .
Q6. On note pour et .
On admet dans cette question que et .
Donner, sans calculs, l'ensemble .
Q7. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel (solutions de sur ) ?

PROBLÈME

II existe de nombreuses méthodes pour déterminer la valeur de .
Ce problème propose deux méthodes différentes de recherche de la valeur de cette somme.
Q8. Question préliminaire
Si on admet que , que vaut la somme ?

Partie 1

Q9. On note, pour tout entier naturel .
Calculer la dérivée de la fonction , puis déterminer une relation entre et .
En déduire, pour tout entier naturel , que .
Q10. Déterminer sur l'intervalle le développement en série entière des fonctions et .
Q11. En déduire que pour tout .
Q12. Justifier que .
Q13. En déduire la valeur de .

Partie II

Q14. Donner sur l'intervalle le développement en série entière de la fonction , puis calculer l'intégrale .
On donnera le résultat sous la forme de la somme d'une série numérique.
Q15. On pose pour .
Démontrer que la fonction est bien définie et est continue sur l'intervalle .
Q16. Établir que cette fonction est de classe sur l'intervalle et exprimer comme une intégrale.
Q17. Réduire au même dénominateur l'expression et en déduire que pour tout .
Q18. Calculer , puis en déduire la valeur de .
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