Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
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Dans ce sujet, on s'intéresse au lac de Joux situé en Suisse ; il s'agit du plus grand plan d'eau du massif jurassien et il constitue une destination de loisirs appréciée des amoureux de la nature et des sports de plein air, tant en été qu'en hiver.
Dans une première partie, on s'attachera à mesurer la température et la profondeur du lac.
Dans une seconde partie, on étudiera le mouvement de deux vacanciers en été.
Dans une troisième partie, on s'intéressera au gel du lac en hiver.
PARTIE A : MESURE DES CARACTERISTIQUES DU LAC
A. 1 Mesure de la température du lac
En été, la température du lac fluctue entre et (soit entre 291 K et 297 K ).
Pour la mesurer, on se propose d'utiliser une thermistance : il s'agit d'un composant ohmique dont la résistance dépend de la température selon la loi:
Tracer l'allure de la courbe .
Des mesures expérimentales ont permis de tracer ci-dessous en échelle semi-logarithmique, la courbe en fonction de .
Expliquer en quoi ce graphe permet de valider la loi et de déterminer et .
On détermine ainsi : et .
3. On définit la sensibilité (appelée aussi coefficient de température) de la thermistance par :
Déterminer, pour une température T voisine de , l'expression de s en fonction de B et .
4. L'expression précédente conduit à la valeur . Serait-il préférable d'utiliser une résistance métallique dont le coefficient de température est typiquement de l'ordre de ?
5. En ajoutant en parallèle avec la thermistance, un résistor convenablement choisi, on obtient une résistance totale qui varie de façon quasi-affine avec la température autour de la valeur , selon la loi : avec et .
Quel inconvénient la linéarisation ainsi effectuée présente-t-elle ?
6. On souhaite obtenir une tension proportionnelle à la température. Pour cela, la résistance est insérée dans le montage suivant :
Le montage comprend un générateur idéal de tension continue de force électromotrice et un A.L.I. (AL1) dont l'alimentation ( ) n'est pas représentée.
La tension de saturation est .
Quels sont les ordres de grandeur des intensités et des courants électriques d'entrée et du gain statique d'un A.L.I.
Que deviennent ces grandeurs dans le modèle de l'A.L.I. idéal ?
Dans toute la suite, les A.L.I. seront supposés idéaux.
7. Pourquoi peut-on envisager un fonctionnement en régime linéaire ? Que vaut alors la tension d'entrée de l'A.L.I. ?
8. Déterminer la tension de sortie u du montage en fonction de et de la différence ( ).
9. Vérifier que pour la plage de température considérée, l'hypothèse du régime linéaire est validée.
10. La tension u précédente est placée à l'entrée du montage suivant dans lequel AL2 et AL3 sont des A.L.I. idéaux, identiques à AL1 et alimentés de la même façon. On donne .
Exprimer v en fonction de u puis w en fonction de v et .
11. Montrer que pour une valeur bien choisie de E'que l'on précisera, la tension w correspond exactement à la température exprimée en Celsius. (On rappelle ).
A. 2 Mesure de la profondeur du lac par sonar
On souhaite mesurer la profondeur H du lac à l'aide d'un sonar comportant un émetteur et un récepteur :
Le sonar émet des impulsions électriques qui sont converties en ondes sonores par l'émetteur. Après réflexion sur le fond du lac, l'onde revient vers le sonar, et le récepteur convertit l'onde réfléchie en un signal électrique. Les signaux électriques sont observés sur l'oscilloscope ci-dessous.
12. Déterminer la fréquence des signaux émis ; préciser le domaine correspondant.
13. On mesure la longueur d'onde du signal , ainsi que la durée qui sépare la réception et l'émission de l'impulsion.
Exprimer la profondeur H du lac en fonction de et f , puis calculer sa valeur.
A. 3 Etude de la liaison coaxiale
Dans les expériences précédentes, l'émetteur et le récepteur sont reliés à un système de détection par un câble coaxial.
Le câble, représenté ci-dessous, est constitué de 2 cylindres coaxiaux parfaitement conducteurs de même axe Oz (perpendiculaire au plan de la figure), de rayons respectifs et .
Ces cylindres sont séparés par un milieu noté qui, du point de vue électromagnétique, se comporte comme le vide, et on considère une onde électromagnétique se propageant dans .
On note la célérité de cette onde.
Un point du câble est repéré par ses coordonnées cylindriques d'axe Oz, et on donne les opérateurs dans ce système des coordonnées :
On note la permittivité électrique du vide et sa perméabilité magnétique.
14. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide (donc dans le milieu ).
15. On cherche une solution de ces équations pour le champ électrique associé à l'onde sous la forme :
A partir d'une des équations de Maxwell concernant le champ électrique, déterminer la fonction du champ dans le milieu en notant .
16. Déduire d'une seconde équation de Maxwell l'expression du champ magnétique dans le milieu , sachant qu'on n'envisage pas de composante statique de ce champ.
17. A quelle condition sur , les deux autres équations de Maxwell sont-elles satisfaites ?
18. On souhaite déterminer l'intensité du courant i circulant le long du câble ; pour cela, on se propose d'appliquer le théorème d'Ampère sur un contour fermé circulaire de rayon compris entre et , et perpendiculaire à l'axe Oz.
Montrer que l'équation de Maxwell-Ampère conduit, dans le cas présent, à une formulation du théorème d'Ampère identique à celle du cas statique.
En déduire l'intensité i(t, z) du courant le long du cylindre intérieur.
19. Exprimer la puissance moyenne temporelle transportée par l'onde à travers le câble en fonction de .
A. 4 Mesure de la profondeur du lac par capteur inductif de pression
La profondeur du lac étant de l'ordre de 30 m , évaluer la pression en bars au fond du lac, en précisant les grandeurs utiles et leurs valeurs usuelles.
On souhaite vérifier la valeur de cette pression à l'aide d'un capteur magnétique. Ce dernier comprend une bobine de longueur constituée d'un enroulement de spires de rayon , de surface et représentée ci-dessous. On supposera de façon à pouvoir négliger les effets de bords et de ce fait à considérer la bobine comme un solénoïde infini.
La bobine est parcourue par un courant d'intensité constante I et on se place dans le système des coordonnées cylindriques, l'axe Oz étant l'axe de symétrie de révolution du solénoïde et le point O étant situé en son centre.
Déterminer alors le champ magnétique créé en tout point intérieur au solénoïde, le champ étant supposé nul à l'extérieur.
22. Exprimer le flux propre de ce champ magnétique à travers la bobine et en déduire l'expression de son inductance propre en fonction de . Le calcul numérique conduit à .
23. Le capteur inductif de pression est formé par la bobine à l'intérieur de laquelle on introduit un barreau ferromagnétique. Cette introduction fait varier son inductance propre.
Le barreau pénètre plus ou moins dans la bobine sous l'effet d'une augmentation de la pression P par rapport à la pression atmosphérique bar et on admet que l'inductance devient alors avec .
Pour mesurer la valeur de , on utilise le circuit suivant alimenté par un générateur de tension sinusoïdale de pulsation , et étudié en régime permanent.
La bobine est modélisée par l'association série d'une inductance et d'une résistance interne ; on notera son impédance complexe.
Dans ce circuit, est l'impédance correspondant à l'association parallèle d'un condensateur de capacité réglable et d'un résistor de résistance réglable. et sont deux résistors de résistances fixes.
Exprimer les impédances et .
24. La mesure consiste à régler et de façon à ce que la tension entre les points et soit nulle. Montrer qu'on a alors la relation: .
25. En déduire les expressions de et en fonction de et .
26. On fixe et , et on mesure et .
Calculer et , puis vérifier que cette dernière valeur est compatible avec la valeur de la pression attendue.
PARTIE B : LE LAC EN ETE
Nous sommes en été et un enfant dévale un toboggan aquatique, tandis qu'un adulte traverse le lac en pédalo.
Cette partie s'intéresse à l'étude du mouvement de chacun de ces deux vacanciers.
B. 1 Etude de la descente en toboggan
Le toboggan est représenté sur la figure suivante.
Pour l'étude du mouvement, on propose le modèle suivant :
L'enfant de masse , est assimilé à un point matériel M .
Le toboggan, de forme hélicoïdale, débute en et se termine en après 3 tours exactement ; il s'enroule sur un cylindre vertical de rayon . On néglige tout frottement.
A chaque tour complet, l'enfant descend d'une hauteur .
Le point , initialement immobile en , est repéré par ses coordonnées cylindriques ( ), z étant la cote du point sur l'axe de symétrie de la trajectoire, choisi vertical descendant.
L'origine O de l'axe Oz est choisie à l'intersection de cet axe et du plan horizontal passant par A .
On donne l'accélération de la pesanteur .
On note ( ) la base locale orthonormée directe associée au système des coordonnées cylindriques.
27. Les équations de la trajectoire sont données par les relations : et où est une constante positive. Exprimer h en fonction de .
28. Exprimer le vecteur position et le vecteur vitesse du point en fonction de et de leurs dérivées temporelles .
29. Montrer que l'énergie mécanique de l'enfant peut se mettre sous la forme: , où A et B sont des constantes à expliciter en fonction des données.
30. Déterminer la vitesse de l'enfant en sortie de toboggan en fonction de et .
31. Déterminer l'équation différentielle satisfaite par et en déduire la durée de la descente en fonction de et h .
32. Si on prend en compte une force de frottement de norme constante , exprimer l'énergie perdue par l'enfant au cours de la descente, en fonction de , R et .
B. 2 Etude de la traversée en pédalo
Le pédalo avec son passager possède une masse totale et il dispose de deux flotteurs, chacun de volume . L'ensemble se déplace à vitesse constante sur le lac.
33. Calculer la fraction de volume immergé des flotteurs lorsque l'équilibre vertical est réalisé.
34. La force de norme exercée par le vacancier sur le pédalier est modélisée sur la figure suivante.
Situation (a)
Situation (b)
Dans chacune des situations (a) et (b), exprimer le moment de la force exercée par le vacancier par rapport à l'axe de rotation du pédalier.
35. On considère que le moment du couple moyen exercé sur le pédalier correspond à la moyenne des 2 valeurs précédentes. Sachant que le pédalier tourne à la vitesse constante rad. , évaluer la puissance moyenne développée par le vacancier.
B. 3 Mise en œuvre d'une assistance électrique
Le projet d'un groupe de lycéens est de mettre au point une assistance électrique sur le pédalo.
Pour cela, on installe un panneau qui transforme l'énergie solaire en énergie électrique. La tension ainsi récupérée alimente un petit moteur à courant continu.
On propose la modélisation très simplifiée suivante de ce moteur :
Une barre OC de longueur a et solidaire du pédalier, tourne autour de l'axe vertical , son extrémité C s'appuyant sur le cercle conducteur horizontal de centre O et de rayon a = 1 m , et admettant l'axe comme axe de symétrie orthogonal au cercle.
La barre et le cercle sont des conducteurs électriques. On néglige tout frottement.
Un circuit contenant le générateur de tension continue de force électromotrice est connecté en à la barre mobile et en D au cercle conducteur.
Un interrupteur K permet au cycliste de solliciter (K fermé) ou non (K ouvert) l'assistance électrique.
Lorsque K est fermé, la résistance totale du circuit OCDKO est R .
L'ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme, constant et vertical avec .
36. Lorsque l'assistance électrique est sollicitée, il apparait par induction dans le circuit une force contre électromotrice .
Exprimer alors l'intensité du courant dans le circuit, puis calculer sa valeur lorsque rad. .
37. Déterminer le moment résultant des forces de Laplace qui s'exercent sur la tige OC par rapport à l'axe Oz, puis la puissance correspondante.
38. De quel pourcentage l'effort du vacancier est-t-il réduit ?
Nous sommes en hiver et la température extérieure est de ; le lac gèle et devient la plus grande patinoire naturelle d'Europe.
On se propose de modéliser la croissance de la couche de glace à la surface du lac, en régime quasi stationnaire. On note la profondeur du lac, et sa surface.
On suppose que l'eau est en permanence à la température de fusion .
L'air au-dessus du lac est à la température constante et uniforme et à la pression atmosphérique bar.
Libre de glace à l'instant , le lac se couvre progressivement d'une couche de glace dont l'épaisseur à l'instant t est ; comme le montre la figure suivante, la position d'un point du lac est repérée par son abscisse x, l'axe Ox étant vertical descendant et l'origine étant au niveau de la surface du lac.
air
Les caractéristiques de la glace sont les suivantes :
masse volumique .
conductivité thermique .
enthalpie massique de fusion (à ) .
capacité thermique massique .
On fait les deux hypothèses suivantes relatives aux transferts thermiques convectifs :
Le transfert thermique par convection à l'interface glace-air, pour une surface de glace, pendant la durée dt, est donné par la relation .S.dt, où est la température de la glace en . La température est comprise entre et de sorte que ce transfert s'effectue de la glace vers l'air. On donne .
Le transfert thermique par convection à l'interface eau-glace est négligé, de sorte que la température à cette interface est constamment à la température de l'eau: .
On rappelle l'équation de diffusion thermique dans la glace: .
39. Calculer le rapport / hen précisant son unité.
40. Le gel de l'eau induit un transfert thermique de l'eau vers l'air.
Que vaut ce transfert thermique q lors du gel de 1 kg de glace ?
41. Que vaudrait le transfert thermique Q cédé par la glace lors du gel de la totalité du lac ? On donnera le résultat sous forme d'une puissance de 10.
42. Dans l'hypothèse où varie lentement (régime quasi-stationnaire), justifier que la température dans la glace (pour x variant de 0 à ) peut s'écrire sous la forme :
Entre les instants t et varie . Exprimer, pour cet intervalle de temps dt , le transfert thermique cédé par l'eau lors de sa solidification, en fonction notamment de q.
Exprimer, pour ce même intervalle de temps, le transfert thermique conductif dans la couche de glace du bas vers le haut, en fonction notamment de la différence ( ).
La continuité du flux thermique à l'interface glace-air impose: .
En déduire l'expression de en fonction de et de .
46. La continuité du flux thermique à l'interface eau-glace impose: .
En déduire que vérifie l'équation différentielle de la forme suivante : où est une constante homogène à une vitesse, que l'on exprimera en fonction de et .
47. Intégrer l'équation précédente et montrer que vérifie une équation du second degré.
48. En déduire l'expression de tant que le lac n'est pas gelé dans sa totalité.
49. En fonction de et , exprimer un temps caractéristique de l'évolution de , et en donner un ordre de grandeur sachant que est de l'ordre de .
50. En fonction de et , exprimer un temps caractéristique de la diffusion dans la glace sur la longueur , et en donner un ordre de grandeur. Conclure sur l'hypothèse du régime quasistationnaire faite à la question 42.
Fin de l'épreuve
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