La partie A de cette épreuve aborde l'étude mécanique d'un système double ( étoile double ou étoile-planète), modélisé par deux points matériels en mouvement relatif, de type périodique. Du fait de l'effet Doppler, les longueurs d'onde reçues par un observateur dépendent de la vitesse des sources émettrices. L'utilisation d'un interféromètre de Fabry-Perot, étudié dans la partie B, permet ainsi de déterminer certaines caractéristiques du système double.

Partie A : Etude mécanique

Soit un système de deux points matériels de masse

, respectivement situés aux points

, et dont le centre d'inertie (ou centre de masse) est en G . On appellera

le référentiel galiléen associé au repère orthonormé direct

le référentiel barycentrique (associé au repère orthonormé direct

Dans toute la suite, on utilisera les notations suivantes:

I Etude cinétique d'un système de deux points matériels

Sur un même schéma, représenter les repères et après avoir défini ce que sont un référentiel galiléen et le référentiel barycentrique.
a) En utilisant le fait que est le centre d'inertie, trouver et en fonction de et .
b) En déduire et en fonction de et .
c) Comparer et .
d) Que peut-on dire de la quantité de mouvement du système dans ?
a) Donner les expressions du moment cinétique, noté , du système par rapport à O dans le référentiel et de celui, noté , du système par rapport à G dans le référentiel .
b) Indiquer la relation entre et , en précisant le théorème utilisé. Pourquoi pourra-t-on dans la suite écrire au lieu de ?
c) Calculer littéralement en fonction de où , est nommée masse réduite.
a) Définir l'énergie cinétique du système dans le référentiel , notée , ainsi que celle dans le référentiel , notée .
b) Préciser la relation donnant en fonction de et .
c) Calculer littéralement en fonction de et .

II Etude dynamique d'un système de deux points matériels

On suppose, dans cette partie, que chaque point matériel est soumis à deux types de forces:

une force d'interaction interne au système ( ): pour le point situé en ( pour le point situé en )
une force due au milieu extérieur au système pour le point situé en pour le point situé en .

Quel est le nom du principe qui donne notamment la relation entre les forces et ? Montrer que est colinéaire à .
a) Appliquer la Relation Fondamentale de la Dynamique à chaque particule dans le référentiel et en déduire les expressions de , puis en fonction de et .
b) Quelle est la condition C1 que doit satisfaire la somme pour que le référentiel soit galiléen ?
c) Quelle est la condition C2 que doit satisfaire pour que

d) Donner un exemple de force extérieure satisfaisant C2 seulement. Quelle est la seule possibilité satisfaisant C2 et C1 ? Que dira-t-on d'un tel système ?

III Cas d'un système isolé de deux points matériels

On suppose, dans toute la suite, que

Quelle est, dans ce cas, la nature du mouvement du point dans ?
Monter que est un vecteur constant dans .

Dans toute la suite, on suppose que

est non nul, de mêmes sens et direction que le vecteur unitaire

de l'axe Gz du repère orthonormé direct

associé au référentiel barycentrique

. Ainsi

, avec

constant et strictement positif.
3) En s'appuyant sur le résultat de la question I3c, préciser ce qu'implique le fait que la direction de

soit constante. Qu'implique ensuite le fait que sa valeur algébrique soit constante? On posera

et notera

l'angle que fait

avec l'axe

dans le plan

.
4) Montrer que la dérivée de l'énergie cinétique dans le référentiel

s'écrit, pour ce système isolé :

Montrer que la dérivée de l'énergie cinétique de ce système dans le référentiel * s'écrit:

On suppose dans la suite que les forces d'interaction (

) dérivent d'une énergie potentielle

fonction de la distance

. On note, pour simplifier l'écriture,

la force d'interaction

.
6) Montrer que:

Dans toute la suite, on note

la somme

. A quoi correspond

?
7) a) Récapituler, sous forme de tableau, les valeurs de

.
b) En déduire que l'étude de

se ramène à celle du mouvement dans

d'une particule fictive P (également nommée mobile équivalent) de position donnée par

soumise à une force

centrale et conservative. Préciser la valeur de sa masse.
c) Si l'on connait

, comment peut-on en déduire

IV Etude qualitative de la trajectoire de la particule fictive dans

On étudie dans cette partie la trajectoire dans

de la particule fictive P (également nommée mobile équivalent) associée au système isolé étudié dans la partie III.

On pose

sont unitaires (voir figure 1 ci-dessous)

Figure 1: Notations utilisées dans la partie IV

Expliquer pourquoi la connaissance des vecteurs et à l'instant initial suffit pour définir le plan Gxy qui contient à chaque instant la particule fictive .
Montrer que si est à la fois conservative et centrale, alors et F ne dépendent que de la variable r.

Nous supposerons dans toute la suite que

dérive de l'énergie potentielle

où

sont des réels.
3) Que vaut alors

? A quelles conditions sur

, la force

est-elle attractive ? répulsive?

On rappelle que

, avec

constant et strictement positif.
4) En utilisant le résultat établi à la question I.3.c, exprimer

en fonction de

et de (

), puis exprimer l'énergie mécanique

en fonction de

.
5) a) Quel est le terme de potentiel efficace (ou énergie potentielle efficace, ou énergie potentielle effective)

? On rappelle que:

b) Expliquer en quoi le tracé du graphe de

permet de prévoir l'ensemble des valeurs de

accessibles à la particule fictive.
c) Interpréter la relation

à l'aide d'un raisonnement énergétique dans le référentiel lié à (

).
6) Montrer que la courbe

ne présente un extremum que si la force

est attractive. Déterminer

, valeurs respectives de

et de

pour cet extremum, en fonction de

On se propose maintenant d'analyser les graphes de

lorsque

.
7) On commence par étudier le cas où

sont tous les deux positifs.
a) Donner un exemple de force dérivant d'une énergie potentielle de ce type (en précisant les valeurs de

).
b) Tracer l'allure de

pour

. On précisera sur cette courbe les coordonnées de l'extremum (

) et on indiquera les limites de

pour

.
c) Que peut-on dire des valeurs de

accessibles, en fonction de l'énergie mécanique

?
d) Quel type d'état a-t-on ?
8) On étudie maintenant le cas où

sont tous les deux négatifs.
a) Donner quelques exemples de forces.
b) Tracer l'allure de

pour

en indiquant les points et les limites particuliers: trouver la valeur de

notée

pour laquelle la courbe

coupe l'axe des abscisses et indiquer les limites de

pour

.
c) Reprendre les questions du IV 7) c et d.

V Etude quantitative de la trajectoire de la particule fictive dans

Dans toute cette partie, les deux points constituant le système double forment un système isolé où la force d'interaction

, de nature gravitationnelle, s'écrit

, la constante

étant négative.

Montrer que

Indiquer, sans démonstration, à quelle famille de courbes appartient la trajectoire de la particule fictive P dans . Dans le cas d'une étoile double ou d'un système étoile-planète, quel est le seul type possible de trajectoire de la particule fictive P dans ?
On admet que l'équation de la trajectoire, en coordonnées polaires, s'écrit: et on pose .
a) Comment appelle-t-on ? Préciser leur rôle respectif.
b) Montrer que:

c) En déduire que:

d) Montrer alors que l'on a deux relations valables simultanément:

e) En utilisant la constance de la vitesse aréolaire, établir la relation supplémentaire (troisième loi de Képler) entre T , a,

lorsque la trajectoire de la particule fictive P dans

est une ellipse de demi-grand axe a, décrite avec une période

? On rappelle la relation

, b désignant le demi-petit axe de l'ellipse.

Partie B: Interféromètre de Fabry-Perot

I Etude d'une lame à faces parallèles

Une source S ponctuelle et monochromatique, de longueur d'onde

dans le vide, éclaire une lame à faces parallèles (d'épaisseur

, d'indice

) plongeant dans l'air (d'indice assimilé à l'unité). On étudie ici le phénomène d'interférences "à l'infini" entre toutes les ondes transmises par cette lame.

Figure 2: Notations utilisées dans la partie I du problème B

On note

l'angle que fait, avec une direction normale à la lame, la direction associée à un point

"à l'infini". On appelle

l'amplitude de la grandeur lumineuse qui serait perçue en

sans la présence de la lame;

est ici supposée indépendante de l'angle

Pour simplifier, on supposera que les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude complexe sont les mêmes qu'en incidence normale. Les valeurs des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude complexe pour une onde arrivant en incidence normale sur une surface séparant un milieu d'indice

d'un milieu d'indice

sont:

Etude des amplitudes en des rayons transmis
a) Déterminer les amplitudes des "rayons" successifs transmis en fonction de et des coefficients (l'indice 1 désigne l'air, l'indice 2 désigne le verre).
b) Que vaudraient, de même, les amplitudes des rayons successifs réfléchis en fonction de et des coefficients .
c) Calculer, pour une lame de verre (d'indice 1.5) plongeant dans l'air les amplitudes des différents rayons en fonction de , et présenter les résultats sous forme de tableau.

Amplitude réfléchie
Amplitude transmise

d) Si on ne tient compte que des deux premières ondes transmises, doit-on s'attendre à un contraste proche de l'unité ? Pourquoi ?
e) Mêmes questions pour les interférences des deux premières ondes réfléchies par la lame.
f) Une lame de verre non traitée peut-elle être considérée, selon qu'on l'utilise en transmission ou en réflexion, comme un interféromètre à deux ondes ? comme un interféromètre à ondes multiples?
2) Etude des phases en

des rayons transmis
a) Montrer que la différence de marche, en

, entre deux "rayons" successifs transmis vaut

, où

est l'angle de réfraction dans la lame, associé à l'angle d'incidence

.
b) On note

la phase du premier rayon transmis au point

. Quelles sont les phases en

, notées

des rayons successifs transmis (avec

) ? On pourra utiliser la notation

.
c) En déduire sans calcul la forme des franges d'interférence obtenues par transmission.

II Etude de l'interféromètre à ondes multiples de Fabry Perot

L'interféromètre à ondes multiples Fabry-Perot est constitué d'une lame d'air (épaisseur

, indice égal à 1) limitée par deux surfaces planes traitées telles que tous les coefficients de réflexion valent

et ceux de transmission

(voir figure 3 ci-dessous). On a donc désormais

Montrer que l'amplitude complexe totale de l'onde transmise en vaut:

où

, et

Figure 3: Notations utilisées dans la partie II du problème B

a) Montrer que l'intensité transmise s'écrit:

b) Que valent l'intensité maximum transmise

, l'intensité minimum transmise

et le contraste (ou coefficient de visibilité)

? On rappelle que:

Comment doit-on choisir

pour que

soit proche de 1 ?
c) On pose

Déterminer la largeur à mi-hauteur

de l'un des pics en fonction de

puis de

.
d) On appelle finesse théorique

où

est la période de la courbe

. Que vaut ici

?
e) Que vaudrait

pour un interféromètre à deux ondes (par exemple trous d'Young) ?
f) Tracer l'allure de

pour

après avoir calculé

. Commenter.
3) L'ordre d'interférence

vaut, par définition:

L'interféromètre étant éclairé par des rayons d'incidences variables mais proches de l'incidence normale, on note

la position angulaire du

-ième anneau brillant (compté à partir du centre),

son ordre d'interférence, et

l'ordre d'interférence au centre.
a) Montrer que

b) Quelle est la variation (

) de l'ordre d'interférence lorsqu'on passe de l'anneau brillant

à l'anneau brillant

?
c) Peut-on définir l'interfrange angulaire ? Pourquoi ?
d) Déterminer la dispersion

pour un angle

fixé.
4) On désire utiliser l'interféromètre pour séparer deux raies de luminosités comparables et de longueurs d'onde très proches

. On appelle pouvoir de résolution spectrale P la valeur du quotient

où

est l'écart minimum

séparable. On admettra que deux longueurs d'onde sont séparables lorsque l'écart entre les deux valeurs de

notées

( qui, pour un ordre d'interférence p identique, donnent des valeurs maximales de

, respectivement pour

) est supérieur à la largeur à mi-hauteur de l'un des pics de la fonction

; on rappelle que

. On supposera que

est négligeable devant

; dans l'expression de P ,

.
a) Montrer que

.
b) Application numérique:

.
. Calculer l'ordre

au centre. Que peut-on dire de l'intensité lumineuse au centre?

Calculer, pour , le pouvoir de résolution spectrale pour .

Du fait de l'effet Doppler, lorque deux étoiles en interaction (étoile double) émettent une même longueur d'onde (associée à une raie donnée), on obtient, à la réception, deux longueurs d'onde très voisines dont l'écart relatif est de l'ordre de , où est la norme de la vitesse, dans , de la particule fictive, et la célérité de la lumière dans le vide.
a) Pour une étoile double pour laquelle la distance entre les deux composantes est supposée constante et dont la période est mesurée, trouver la relation donnant en fonction de et .
b) Pour une période jours et , expliquer pourquoi l'interféromètre de Fabry-Pérot précédent (dont le pouvoir de résolution spectrale a été calculé au 4 b ) permet, par séparation des anneaux, de détecter et donc d'en conclure que l'étoile observée a deux composantes.
c) En utilisant la troisième loi de Kepler, calculer la somme des masses des deux composantes ( ). Comparer à la masse du soleil ( ).