Epreuve d'Informatique et Modélisation de Systèmes Physiques
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Attention : annexe disponible page 19 et 20.
Présentation de la problématique
LA REVERBERATION A CONVOLUTION
A/ La Réverbération
La réverbération peut se définir comme la persistance d'un son après qu'il ait été émis. Après émission d'une onde sonore dans un milieu, cette onde peut être réfléchie en de nombreux points situés à des distances différentes de la source et du récepteur comme l'illustre la figure 1. Le récepteur va donc «entendre» la source mais également la superposition des nombreuses réflexions directes et indirectes qui seront perçues avec un retard temporel par rapport à l'onde captée directement. L'effet de persistance va progressivement s'atténuer. La réverbération joue un rôle très important dans la perception de la musique et de ses harmonies. Une œuvre musicale jouée dans une cathédrale ou dans un opéra ne peut pas être perçue avec la même richesse harmonique sans la réverbération que produisent ces milieux acoustiques particuliers.
Figure 1 : réverbération
Réverbération numérique
Le rôle de la réverbération numérique est de reproduire l'effet de réverbération sur un signal acoustique enregistré dans des conditions ne permettant pas de produire naturellement un effet de réverbération. C'est très souvent le cas de la musique enregistrée où le récepteur (microphone) est placé très près de la source dans un milieu produisant lui-même très peu de réverbération.
II existe deux types de réverbérations numériques :
la réverbération algorithmique qui vient superposer au signal d'origine une multitude de signaux avec des délais (échos) différents et des techniques de filtrage et de combinaisons de ces signaux très complexes,
la réverbération à convolution qui convolue la réponse impulsionnelle d'un milieu acoustique avec le signal à traiter, permettant ainsi de simuler la réponse d'un milieu
acoustique sans y avoir enregistré le signal pour autant. Nous nous intéresserons dans ce sujet à ce type de réverbération.
Principe de la réverbération à convolution.
Le schéma de la figure 2 ci-dessous illustre le principe de la réverbération à convolution.
Figure 2 : réverbération à convolution
Afin de réaliser une réverbération à convolution modélisant la réponse d'un milieu acoustique, il est nécessaire d'enregistrer la réponse impulsionnelle de ce milieu. Le microphone utilisé pour cet enregistrement doit permettre de capter le son avec une grande sensibilité pour enregistrer les ondes réfléchies, notamment les plus faibles en amplitude. Le microphone doit également pouvoir capter les ondes sonores selon toutes les directions. Ces deux critères nous conduisent à choisir un microphone électroacoustique plutôt qu'un microphone électrodynamique.
Nous allons dans la suite de ce sujet nous intéresser au fonctionnement du microphone électroacoustique permettant l'enregistrement de la réponse acoustique d'un milieu (Partie I). Nous mettrons ensuite en œuvre les algorithmes permettant de réaliser une réverbération à convolution à partir de la réponse enregistrée (Partie II).
PREMIERE PARTIE - MODELISATION
MICROPHONE
Un microphone est un transducteur électroacoustique, c'est-à-dire un appareil capable de convertir un signal acoustique en signal électrique.
Parmi les différentes technologies utilisées, deux sont les plus fréquentes:
les microphones électrodynamiques, qui exploitent le courant induit créé par le déplacement d'une bobine (liée à la membrane) dans un champ magnétique,
les microphones électroacoustiques, pour lesquels l'onde de pression fait vibrer une membrane, qui constitue l'armature d'un condensateur.
Pour modéliser un microphone électroacoustique, nous nous intéressons pour commencer à un condensateur plan, dont une des armatures est mobile. Nous étudierons ensuite l'intégration de ce condensateur dans un circuit RLC, avant d'observer la réponse de ce circuit en régime sinusoïdal forcé.
LE CONDENSATEUR PLAN (20%)
Un condensateur plan est formé de deux armatures, modélisées par deux plans uniformément chargés, séparés par une distance .
Une plaque dans le plan (Oyz), uniformément chargée avec une densité surfacique , crée au point un champ électrostatique tel que :
Les effets de bord sont négligés.
Q1. Déterminer et présenter sous forme d'un schéma le champ électrostatique créé, en tout point de l'espace, par un condensateur plan constitué de deux plaques placées en (charge surfacique ) et en (charge surfacique )
Q2. En déduire le potentiel en tout point de l'espace, et représenter graphiquement ce potentiel (on considère l'origine des potentiels : ).
La surface des plaques du condensateur plan est notée et les charges électriques portées par les plaques sont respectivement (plaque en ) et (plaque en ).
Q3. Calculer la tension entre les deux plaques, en fonction de et .
Q4. Déterminer la capacité du condensateur plan, en fonction de et .
Q5. Calculer l'ordre de grandeur de la capacité d'un condensateur utilisé dans un microphone électrostatique, avec et USI .
Q6. Exprimer la densité volumique d'énergie électrique dans le condensateur, puis en déduire l'énergie électrique emmagasinée dans un condensateur soumis à une tension en fonction de et .
Une force est exercée sur la plaque en , ce qui entraîne un déplacement (sans variation d'énergie cinétique) : l'écartement passe de à .
Q7. Déterminer la variation d'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur, sachant que la charge des armatures n'est pas modifiée.
Q8. On peut considérer que cette variation d'énergie correspond au travail de la force , déterminer la norme de cette force, en fonction de et .
Q9. En déduire la force exercée par l'armature en sur celle en , qui permet de maintenir celle-ci à l'équilibre.
CIRCUIT ELECTRIQUE (10%)
Le condensateur étudié est désormais utilisé dans un microphone. L'armature placée en (charge ) est fixe, alors que celle en (charge ) peut subir un déplacement , avec , en raison de la surpression due à une onde acoustique.
Plus précisément,
en l'absence d'onde acoustique : la pression est et l'armature est en ;
avec une onde : , avec et l'armature est en .
Ce déplacement de l'armature induit une charge supplémentaire. Ainsi : , avec , où est la charge statique (pour et ).
Q10. Montrer que la force de la question précédente peut s'écrire: , où est la force électrique en l'absence de perturbation, soit .
Le condensateur est un des composants d'un circuit RLC série, alimenté par une source de tension de force électromotrice et parcouru par un courant d'intensité .
Q11. Exprimer la tension aux bornes du condensateur, en fonction de et , où est la capacité du condensateur statique, et la simplifier en ne conservant que les termes d'ordre 1 en et .
Q12. Etablir l'équation électrique du circuit RLC série, pour lier et et la simplifier sachant qu'on choisit la force électromotrice telle que .
La composante statique est compensée par un dispositif, on ne considère dans la suite que la composante variable: .
L'armature est aussi soumise à la force de pression , à une force de rappel élastique et à une force d'amortissement .
Q13. Exprimer la force qui s'exerce sur l'armature mobile, en considérant que la pression est dans le condensateur, et à l'extérieur.
Q14. Ecrire l'équation mécanique qui régit l'évolution de la position de l'armature mobile, de masse .
REPONSE AU REGIME SINUSOÏDAL FORCE (10%)
On se place en régime sinusoïdal forcé de pulsation pour étudier la réponse du microphone à une onde acoustique. et sont des fonctions sinusoïdales du temps à la pulsation . On notera la grandeur complexe associée au signal .
Q15. Justifier l'intérêt d'étudier la réponse à une excitation sinusoïdale.
Q16. Réécrire l'équation électrique et l'équation mécanique en notation complexe, pour obtenir deux équations linéaires qui lient et .
Q17. En déduire une équation entre et , sous la forme , où k)
L'impédance peut s'écrire , où est l'impédance statique et l'impédance motionnelle.
Q18. Montrer que l'impédance motionnelle correspond à l'impédance d'un dipôle en parallèle, et exprimer et en fonction de , et .
Q19. Comment peut-on faire pour «visualiser» à l'oscilloscope l'intensité , image de la surpression due à l'onde acoustique?
DEUXIEME PARTIE - INFORMATIQUE
ALGORITHME DE CONVOLUTION APPLIQUE A LA REVERBERATION
La réverbération à convolution (voir figure 2, présentation de la problématique) est une adaptation au signal audio du principe des filtres à convolution déjà très utilisés en traitement du signal. On considère que la réverbération d'un milieu est la réponse de ce milieu à un signal sonore. Le milieu acoustique est alors vu comme un filtre linéaire qui applique un traitement au signal sonore de départ :
Dans l' hypothèse des systèmes linéaires invariants, on peut modéliser le filtre par une fonction qui à toute excitation sonore (signal d'entrée) fait correspondre une réponse (signal de sortie) . On peut montrer que si le signal d'entrée est une impulsion de Dirac alors la réponse est .
Il est possible d'obtenir la réponse impulsionnelle d'un milieu acoustique quelconque en enregistrant sa réponse à un signal sonore très bref. On pourra alors en déduire la réponse globale de ce même milieu à tout autre signal par le produit de convolution suivant :
A/ Produit de convolution : réalisation numérique. (15%)
A.1. Signaux numériques à traiter.
On considère dans un premier temps qu'après numérisation les signaux acoustiques enregistrés sont stockés dans deux listes et de même dimension . On notera et les valeurs des amplitudes acoustiques des signaux mesurées aux instants .
On notera le pas de temps supposé constant et la fréquence d'échantillonnage. On considèrera l'instant initial et l'instant final .
Q1. Donner une relation liant les paramètres et .
Q2. Ecrire la suite d'instructions permettant de créer une liste tps contenant les valeurs des instants pour un jeu de paramètres : et .
Afin de tester les algorithmes que nous allons mettre en place, nous allons créer deux listes de signaux virtuels comme définis ci-dessous :
On supposera que le module math permettant de définir les fonctions et est importé pour les questions suivantes.
Q3. Ecrire une fonction retournant la liste des valeurs comme définie cidessus équation (2). L'argument sera la liste des valeurs des instants .
Q4. Ecrire une fonction retournant la liste des valeurs comme définie cidessus équation (3). L'argument sera la liste des valeurs des instants .
La figure 3 donne le tracé des deux fonctions pour le jeu de paramètres défini précédemment.
Figure 3 : Signaux tests
L'annexe E en fin d'énoncé donne la documentation de la bibliothèque matplotlib.pyplot pour la question suivante.
Q5. Ecrire la suite d'instructions permettant d'obtenir le tracé de la figure 3 (légendes et couleurs comprises) à partir des fonctions , correspondant à en bleu sur le tracé réel, et correspondant à en vert sur le tracé réel et de la liste tps créée question Q2.
A.2. Convolution directe.
La première méthode numérique de calcul d'un produit de convolution exploite directement l'expression mathématique (1). Nous allons alors déterminer aux instants les valeurs du signal :
L'intégrale pour chaque sera évaluée par une méthode des rectangles à gauche appliquée à l'équation (4).
Q6. Ecrire une fonction qui retourne la liste des valeurs du résultat du produit de convolution des arguments (listes de valeurs) et . L'argument est la liste des instants correspondants. On admettra que les signaux sont pseudopériodiques. On rappelle que le type de variable liste supporte les indices négatifs tel que pour une liste de dimension .
Q7. Donner la complexité d'un appel de la fonction en fonction de la dimension des données.
On donne figure 4 ci-dessous le tracé du résultat du produit de convolution obtenu avec les fonctions établies équations (2) et (3).
Figure 4 : Résultat du produit de convolution des signaux figure 3
B/ Convolution par transformée de Fourier discrète. (15%)
B.1. Transformée de Fourier Discrète (TFD).
La transformée de Fourier d'un signal temporel permet sa représentation dans une base fréquentielle. Nous allons voir qu'elle peut être employée pour réaliser un produit de convolution.
La fonction est une fonction du temps , la fonction transformée est une fonction de la fréquence .
On définit la transformée de Fourier d'une fonction par ( : unité imaginaire) :
Et la transformée inverse par :
La figure 5 ci-dessous représente le tracé du module de la transformée de Fourier du signal défini équation (3). On utilise usuellement l'expression «spectre fréquentiel» pour ce type de tracé.
Q8. Proposer une interprétation du graphe figure 5 et justifier l'expression de «spectre fréquentiel ».
Figure 5 : Transformée de Fourier de éq (3)
La transformée de Fourier discrète permet une représentation discrète dans une base fréquentielle d'un signal temporel discret. On dispose d'une liste de valeurs discrètes avec un pas de temps supposé constant. La fréquence d'échantillonnage est donc constante et vaut . Le pas de fréquence vaut alors .
On notera les valeurs de la transformée de Fourier discrète aux fréquences avec:
On notera :
Pour calculer la transformée de Fourrier discrète on redéfinit les bornes de l'intégrale dans l'intervalle d'étude comme suit :
Le signal est alors supposé nul en dehors de cet intervalle.
Q9. Montrer que si l'on évalue par une méthode des rectangles à gauche appliquée à (9) on obtient :
Les grandeurs et étant constantes au cours du calcul il est possible de les prendre en compte à posteriori, on calculera donc dans la suite du sujet la transformée et la transformée inverse pour et respectivement.
On rappelle pour les questions suivantes que la définition des complexes en python peut se faire de la manière suivante :
In [74]: a=2.1+3.21j
In [75]: type(a)
Out[75]: complex
In [76]: exp(a)
Out[76]: (-8.1470703008384042-0.55819042818916542j)
In [77]: exp(2.1+3.21j)
Out[77]: (-8.1470703008384042-0.55819042818916542j)
On peut alors réaliser toutes les opérations usuelles associées aux nombres complexes.
Q10. Ecrire une fonction Fourier_directe( ) qui prend pour argument une liste de valeurs d'un signal et qui retourne la liste des composantes du vecteur ( ) de la transformée de Fourier discrète de (pour ). On utilisera les équations (8) et (10).
Q11. Donner la complexité de la détermination d'une transformée de Fourier discrète en fonction de la dimension des données.
Q12. En analysant la définition de la transformée de Fourier inverse indiquer quelle modification il suffit d'apporter à la fonction Fourier_directe ( ) pour définir une fonction Fourier_directe_inverse ( ) qui retourne le vecteur ( ) de la transformée de Fourier discrète inverse de .
B.2. Convolution avec la TFD.
Il est possible de montrer que le produit de convolution de deux fonctions peut être réalisé dans le domaine fréquentiel grâce à leur transformée de Fourier :
Le produit de deux transformées de Fourier discrète est défini par :
On peut alors retrouver par transformée de Fourier inverse.
Q13. Ecrire une fonction produit ( ) qui prend pour argument deux listes de valeurs et qui retourne le produit de ces deux listes tel que défini par l'équation (11).
Quelles que soient vos réponses aux questions précédentes, on suppose que les fonctions Fourier_directe( ), produit( ) et Fourier_directe_inverse ( ) sont définies et utilisables pour la suite de cette partie.
Q14. Donner la suite d'instructions permettant d'obtenir la liste des valeurs résultat du produit de convolution des deux signaux discrets définis équations (2) et (3). On suppose que les listes de valeurs et sont déjà définies.
Q15. Evaluer en justifiant précisément votre réponse la complexité de la détermination d'un produit de convolution de deux signaux en utilisant la transformée de Fourier discrète en fonction de la dimension des données. Comparer à celle du produit de convolution direct déterminée à la question Q11.
C/ Convolution par transformée de Fourier rapide (FFT). (10%)
L'algorithme de la transformée de Fourier rapide ou Fast Fourier Transform a été établi sous sa forme la plus connue par James Cooley et John Tuckey en 1965 bien qu'il reprenne les principes des travaux établis par Carl Friedrich Gauss dès 1805. En réduisant la complexité en temps de l'algorithme de transformée de Fourier discrète, cet algorithme a permis le développement de nombreuses applications en traitement du signal.
Le principe fondamental de cet algorithme est dans un premier temps de diviser le calcul des termes en fréquences paires et impaires :
On rappelle :
On donne figure 6 ci-après le programme python permettant de déterminer récursivement la transformée de Fourier rapide définie équation (12).
def Fourier_rapide(x,N):
if N==1:
y=x
else:
N2=N//2
#termes impairs
x0=x[0:N:2]
y0=Fourier_rapide(x0,N2)
#termes pairs
x1=x[1:N:2]
y1=Fourier_rapide(x1,N2)
# reconstruction de y(n1+n2*N1)
y=zeros(N,dtype=complex)
w=exp(-2j*pi/N)
W=1
for n1 in range(0,N2):
#calcul de y(n1)
y[n1]=y0[n1]+y1[n1]*W
#calcul de y(n1+N/2)
y[n1+N2]=y0[n1]-y1[n1]*W
#calcul des puissances successives
W=W*w
return y
Figure 6 : fonction Fourier_rapide
Q16. Montrer en justifiant précisément votre réponse que l'algorithme conduit par les appels récursifs de la fonction Fourier_rapide termine.
Cet algorithme récursif n'est correct que si la taille des données est une puissance de 2 .
Nous allons donc préalablement à son utilisation chercher le plus grand entier tel que :
Q17. Ecrire une fonction nextpow2(n) qui retourne tel que défini ci-dessus (13).
Q18. Avec , évaluer le nombre de multiplications réalisées lors d'un appel de la fonction Fourier_rapide . En déduire le nombre de multiplications réalisées en fonction de . Quelle est alors la complexité de l'algorithme?
Nous allons à présent comparer les trois algorithmes utilisés pour la convolution. Le graphe figure 7 ci-après présente à l'échelle logarithmique les temps de simulation en secondes pour les trois méthodes de calcul numérique du produit de convolution des fonctions (2) et (3) en fonction de la taille des données .
Q19. Evaluer graphiquement en justifiant aussi précisément que possible vos calculs les ordres de complexités des trois algorithmes en fonction de la taille des données . Conclure.
Figure 7 : temps d'exécution des algorithmes de convolution
D/ Application aux fichiers musicaux au format WAVE. (20%)
D.1. Caractéristiques des fichiers audios au format WAVE.
Un fichier WAVE est un fichier binaire dédié au stockage de fichiers audios numériques. Il est constitué d'un premier bloc de 44 octets appelé «en-tête» qui contient les informations relatives au format des données stockées. Le second bloc appelé « data » contient les données elles-mêmes au format WAVE.
Le format WAVE est un format sans compression (contrairement aux fichiers de type mp3 par exemple). Le signal audio est échantillonné à une fréquence fixe et est quantifié pour chaque échantillon. Pour le format WAVE utilisé sur les disques dits CD (disque compact) la fréquence d'échantillonnage est fech et la quantification est réalisée sur un entier signé codé sur 16 bits (2 octets).
Ce couple bits est un standard couramment employé, c'est celui que nous retiendrons pour la suite. On rappelle que le domaine audible de l'oreille humaine est contenu entre 20 Hz et 20 kHz environ.
Q20. Comment justifier le choix de la fréquence fech pour échantillonner un signal audible?
Le code utilisé pour la représentation des entiers signés est le complément à 2 .
On rappelle le principe du complément à 2 sur n bits :
L'entier positif est représenté par son code binaire naturel. Le plus grand nombre représentable sur n bits est .
L'entier négatif - est représenté par le code binaire naturel de son complément à 2 : . Le plus petit entier négatif représentable sur n bits est .
Q21. Quel est l'intérêt principal du code complément à 2 pour représenter des entiers signés ?
Q22. Quel est le plus grand entier positif représentable sur 16 bits (sans complément à 2 ) ? En déduire la valeur décimale du plus grand entier positif et la valeur décimale du plus petit entier négatif représentable en complément à 2 sur 16 bits.
On enregistre deux instruments sur un signal stéréo échantillonné à une fréquence d'échantillonnage fech . Un instrument est enregistré voie gauche, l'autre voie droite.
On donne le tracé figure 8 du fichier obtenu avec le logiciel Audacity dédié au traitement du son. On remarquera que la valeur maximale de l'échantillon correspond à 1 et la valeur minimale à -1 qui sont les amplitudes sonores maximales normées telles qu'affichées par le logiciel.
Figure 8 : Signal audio numérique stéréo
Un signal stéréo est constitué de deux voies qui doivent être jouées simultanément. Les données du bloc data sont organisées de la manière suivante :
[octets de la voie gauche échantillon 1] [octets de la voie droite échantillon 1] [octets de la voie gauche échantillon 2] [octets de la voie droite échantillon 2]..... [octets de la voie gauche échantillon ] [octets de la voie droite échantillon ].
Chaque échantillon pourra être codé sur plusieurs octets. Les octets sont rangés en ordre «little endian» ce qui signifie que l'octet de poids faible est donné à gauche de l'octet de poids fort.
L'affichage des octets d'un fichier est souvent réalisé au format hexadécimal afin d'en améliorer la lecture, où chaque groupe de 4 bits est représenté par son code hexadécimal. On rappelle ci-dessous la correspondance :
base 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Base 2
0000
0001
0010
0011
0100
Etc..
base 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Ainsi le nombre binaire 234 en base 10 s'écrit en représentation hexadécimale sur 2 octets:
On peut utiliser pour la programmation en python les fonctions to_bytes() et from_bytes() pour la conversion des entiers signés en nombres au format binaire sur 2 octets comme illustré ciaprès figure 9 .
In [13]: a=int.to_bytes(234,2,byteorder='little',signed=True)
In [14]: a
Out[14]: b'\xea\x00'
In [15]: type(a)
Out[15]: bytes
In [16]: c=int.from_bytes(b'\xea\x00',byteorder='little',signed=True)
In [17]: c
Out[17]: 234
In [18]: type(c)
Out[18]: int
Figure 9 : fonctions to_bytes() et from_bytes
Q23. Que retourne la commande suivante :
int.to_bytes(-32768,2,byteorder='little',signed=True)
Q24. Que retourne la commande suivante :
int.from_bytes(b'lx2alx00',byteorder='little',signed=True)
Q25. D'après l'opération réalisée avec les deux variables a et de la figure 10 ci-dessous, quel est le nom de l'opération supportée par le type 'bytes' en python?
In [3]: a=int.to_bytes(12,2,byteorder='little',signed=True)
In [4]: a
Dut[4]: b'\x0c\x00'
In [5]: b=int.to_bytes(24,2,byteorder='little',signed=True)
In [6]: b
Dut[6]: b'\x18\x00'
In [7]: a+b
Put[7]: b'\x0c\x00\x18\x00'
Figure 10 : manipulation des octets
D.2. Convolution de deux fichiers audios au format WAVE.
On donne figure 11 page suivante la fonction creawave_2oct(voieG,voieD,destination) qui prend pour argument deux listes voie et voieD contenant les valeurs entières des échantillons des voies gauche et droite d'un signal échantillonné à et crée un fichier destination au format WAVE sur 2 octets contenant les données des deux voies. Le script python est incomplet et permet d'écrire un fichier WAVE en complétant séquentiellement le fichier (boucle for). On utilise la librairie de fonctions WAVE dont les caractéristiques ne sont pas à connaître.
Q26. Compléter les affectations des variables , gbyte, et dbyte de la fonction creawave_2oct(voieG,voieD,destination) en définissant les valeurs des échantillons des voies gauches et droites. On normera l'amplitude des signaux : la valeur maximale des listes voie et voieD sera codée avec le plus grand entier représentable sur 2 octets. On utilisera les résultats des questions Q23 et Q24.
Q27. Compléter l'argument de la fonction writeframesraw() de la fonction creawave_2oct(voieG,voieD,destination) : valeur de l'échantillon de deux fois deux octets de type 'bytes' conformément à la description du format WAVE donnée précédemment. On utilisera le résultat de la questions Q25 notamment.
On souhaite mettre en œuvre les algorithmes établis pour réaliser la convolution des deux fichiers WAVE représentés figures 8 et 12 . Le signal figure 8 est le signal à traiter, il est d'une durée de 2.530 secondes. Le signal figure 12 est la réponse impulsionnelle d'un milieu acoustique, il est d'une durée de 1.758 secondes. La figure 13 représente le résultat du produit de convolution tel qu'on souhaite l'obtenir.
Afin d'exploiter pleinement la réverbération, on souhaite que le signal convolué soit d'une durée égale à la somme des durées des deux signaux. Si le signal audio à traiter contient échantillons et que la réponse impulsionnelle contient échantillons, Le signal résultat du produit de convolution contiendrait échantillons au plus, car l'on doit toujours respecter la condition (13). On calculera donc en pratique (voir Q17) :
On complètera donc préalablement les deux signaux à transformer par des zéros.
Q28. Ecrire une fonction addzeros(voie, ) qui prend pour arguments un entier et une liste de valeurs numériques voie de dimension inférieure à et qui retourne une liste de valeurs de dimension consistant en la liste voie complétée par des zéros si len(voie) < .
def creawave_2oct(voieG,voieD,destination):
frequence = 44100.0 # hertz
duree = 1/frequence*len(voieG) # secondes
wavef = wave.open(destination,'w')# création fichier wave
wavef.setnchannels(2) # stereo
wavef.setsampwidth(2) # codage sur 2 octets
wavef.setframerate(frequence)
wavef.setnframes(int(duree * frequence)) # nombre d'échantillons
# Détermination de l'amplitude maximale voie gauche
MaxiG=max(abs(voieG))
# Détermination de l'amplitude maximale voie droite
MaxiD=max(abs(voieD))
# Détermination de l'amplitude maximale
Maxi=max(MaxiD,MaxiG)
for i in range(int(duree * frequence)):
# valeur échantillon voie gauche
# valeur échantillon compris dans l'intervalle [-32768,32767]
g = #A COMPLETER : valeur entière normalisée de l'échantillor
gbyte= #A COMPLETER : échantillon converti en bytes
# valeur échantillon voie DROITE
# valeur échantillon compris dans l'intervalle [-32768,32767]
d = #A COMPLETER : valeur entière normalisée de l'échantillor
dbyte= #A COMPLETER : échantillon converti en bytes
# écriture dans le fichier wave des échantillons
wavef.writeframesraw(# Argument A COMPLETER)
wavef.close()
return None
On suppose pour la suite du sujet que les fonctions suivantes créées en amont sont déjà déclarées:
Figure 11 : fonction creawave_2oct
Fonction
Commentaires
Fourier_rapide( )
Retourne la transformée de Fourier discrète d'une liste de dimension .
Fourier_rapide_inverse( )
Retourne la transformée de Fourier discrète inverse d'une liste x de dimension N.
produit ( )
Retourne une liste résultat du produit de deux transformées de Fourier discrète et .
creawave_2oct(voieG,voieD,destination)
Crée un fichier WAVE destination à partir des données entières des échantillons contenus dans les listes voieG, voieD.
extrawave_2oct(fichier) Exemple d'appel : voieG, voieD = extrawave_2oct(fichier)
Retourne une séquence de deux listes contenant les valeurs entières des échantillons contenus dans les voies droite et gauche d'un fichier stéréo.
nextpow2(n)
Retourne la plus grande puissance de 2 inférieure à .
addzeros(voie,N)
Retourne une liste contenant la liste voie complétée par des zéros si len(voie) < .
Q29. Ecrire une fonction convolution_reverb(fichier1, fichier2, fichier3) qui crée un fichier WAVE fichier3 résultat du produit de convolution des fichiers WAVE fichier1 et fichier2.
Q30. Justifier succinctement que le signal de la figure 13 peut être interprété visuellement comme le signal de la figure 8 perçu avec un effet de réverbération.
Figure 12 : réponse impulsionnelle
Figure 13 : signal avec réverbération
FIN DE L'ENONCE
E/ Annexe : documentation partielle.
Vous trouverez ci-dessous un extrait de la documentation officielle du module matplotlib.pyplot, dédié au tracé et à la mise en forme de graphiques.
E.1. Fonction plot
matplotlib.pyplot.plot(*args, **kwargs)
Plot lines and/or markers to the Axes. args is a variable length argument, allowing for multiple pairs with an optional format string. For example, each of the following is legal:
plot(x, y) # plot x and y using default line style and color
plot(x, y, 'bo') # plot x and y using blue circle markers
plot(y) # plot y using x as index array 0..N-1
plot(y, 'r+') # ditto, but with red plusses
An arbitrary number of groups can be specified, as in:
a.plot(x1, y1, 'g^', x2, y2, 'g-')
character
description
'
solid line style
'--'
dashed line style
'-.'
dash-dot line style
':'
dotted line style
'.'
point marker
','
pixel marker
circle marker
'v'
triangle_down marker
^
triangle_up marker
'<'
triangle_left marker
'>'
triangle_right marker
'1'
tri_down marker
'
tri_up marker
tri_left marker
'4'
tri_right marker
's'
square marker
'p'
pentagon marker
'*'
star marker
' h '
hexagon1 marker
' H'
hexagon2 marker
'+'
plus marker
' x '
x marker
D'
diamond marker
character
description
'
thin_diamond marker
।'
vline marker
'
hline marker
The following color abbreviations are supported:
character
color
blue
green
red
cyan
magenta
yellow
black
white
E.2. Fonctions annexes pour la mise en forme
En plus de la fonction plot, le module matplotlib.pyplot propose diverses fonctions dédiées à la mise en forme des graphiques. En voici quelques-unes:
xlabel(s) : écrit le contenu de la chaîne s comme étiquette des abscisses.
ylabel(s) : écrit le contenu de la chaîne comme étiquette des ordonnées.
title(s) : écrit le contenu de la chaîne s comme titre du graphique.
legend (L) : donne une légende au graphique. L doit être une liste de chaînes: L[0] est la légende de la première courbe, de la deuxième, etc.
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