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Banque PT Mathématiques C PT 2022

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)Equations différentielles

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Banque PT PT Banque PT 2022 PT Maths Maths 2022

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Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance

Préambule

Rappeler le domaine de définition de la fonction tangente, puis donner, sans démonstration, sa parité et sa dérivée, ainsi que, pour sa restriction à l'intervalle ses variations (on demande le tableau de variations, où apparaîtront les limites aux bornes).
Montrer, à l'aide d'un théorème de cours qui sera énoncé, que la fonction tangente réalise une bijection de sur , et en déduire l'existence de sa fonction réciproque arctangente. Donner, sans démonstration, la dérivée de la fonction arctangente.
Déduire des variations de la fonction tangente sur celles de sa réciproque arctangente, et retrouver ce résultat à l'aide de la dérivée de la fonction arctangente obtenue à la question précédente.
Tracer, sur un même graphe (échelle : 2 cm pour une unité), les courbes représentatives de la fonction tangente sur [, et de la fonction arctangente sur . On rappellera comment le tracé de la courbe représentative de la fonction arctangente se déduit de celui de la fonction tangente.
Exprimer, pour tout réel de en fonction uniquement de .

Partie I

Pour tout réel , on pose :

(a) Etudier, pour tout réel

, la convergence de l'intégrale à paramètre

.
(b) Que vaut

?
(c) Exprimer, pour tout réel

en fonction de

.
2. Soit

un réel positif. Pour tout entier naturel non nul

, on pose:

(a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le réel

pour que la série

converge.
(b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

, que l'on justifiera avec soin, montrer que, pour tout entier naturel non nul

(On pensera à utiliser le résultat de la question 5. du Préambule)
(d) En déduire, pour tout entier naturel non nul

(e) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le réel

pour que l'intégrale

converge.

Partie II

(a) Soit un réel strictement positif, et et deux fonctions développables en série entière sur , sous la forme :

où, pour tout entier naturel

sont des réels.
Rappeler la formule du produit de Cauchy donnant le produit des séries entières

. Que peut-on dire sur le rayon de convergence?
(b) Appliquer la question précédente pour exprimer, pour tout réel

, le développement en série entière de

.
2. On suppose désormais que la fonction

s'annule en zéro, et que, pour tout réel

(a) En déduire la relation de récurrence vérifiée, pour tout entier naturel

, par les coefficients

.
(b) Démontrer, par récurrence forte, que, pour tout entier naturel

Que peut-on en déduire pour la parité de la fonction

et son développement en série entière?
(c) Montrer que

, puis calculer :

.
(d) On admettra, dans ce qui suit, que la fonction tangente est développable en série entière sur

. A l'aide des résultats précédents, donner le développement limité, à l'ordre 7 , au voisinage de zéro, de la fonction

, et en déduire celui de la fonction tangente, au même ordre, en zéro.

Partie III

Pour tout entier naturel non nul , on pose :

(a) Etudier, pour tout entier naturel non nul

, la convergence de l'intégrale

.
(b) Calculer :

(d) En déduire :

Pour tout entier naturel non , et tout réel strictement positif , on note : .

On pose :

(a) Que vaut :

?
(b) Etudier, pour tout entier naturel non nul

, la convergence des intégrales

.
(c) Montrer que la suite

est croissante et majorée.
(d) Etudier le sens de variation de la suite

.
(e) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

(f) En déduire la convergence de la suite

, et montrer que :

(a) Pour tout entier naturel non nul , effectuer, en le justifiant, le changement de variable dans l'intégrale ( ), puis donner, pour tout entier naturel non nul , une relation entre ( ) et :

(b) En déduire l'existence d'une constante réelle

telle que, lorsque

tend vers l'infini :

Partie IV

Soit la fonction définie, pour tout réel non nul , par :

Montrer que

est prolongeable par continuité en zéro.

Dans ce qui suit, on désigne encore par

la fonction ainsi prolongée. On admettra que la fonction

est développable en série entière sur

, sous la forme :

où, pour tout entier naturel

est un coefficient réel.
2. Que vaut

?
3. En remarquant que, pour tout réel

montrer que l'on peut aussi écrire :

(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul :

puis :

(b) Calculer

. Que remarque-t-on par rapport aux coefficients

de la partie II?

Ce problème fait intervenir des intégrales généralisées, pour lesquelles la fonction tangente permet soit d'obtenir leur convergence, soit de les calculer. Cette très classique fonction trigonométrique vérifie aussi une équation différentielle permettant d'obtenir son développement en série entière, où interviennent les nombres de Bernoulli, que l'on retrouve dans de nombreux autres développements en série entière, ou encore dans la formule d'Euler Mac-Laurin, qui relie des sommes discrètes où apparaissent également les dérivées successives de la fonction, et des intégrales.

Fin de l'épreuve