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Banque PT Mathématiques C PT 2017
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
Epreuve de Mathématiques C
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Préambule
Soit
- Rappeler le théorème des accroissements finis.
- En déduire, pour tout réel
de distinct de , l'existence d'un réel de tel que:
- On se place, dans cette question, dans le cas où
. Montrer que :
- On se place, dans cette question, dans le cas où
. Montrer que :
- Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de
au point d'abscisse . - Que peut-on déduire des résultats précédents pour la représentation graphique de la fonction
?
Partie I
On rappelle que l'intégrale de Gauss, qui est une intégrale convergente, donnée par
Soit
Soit
- Montrer que, pour tout réel
, l'intégrale est convergente. - Que vaut
? - Que vaut
? - (a) Soit
un réel strictement positif. Montrer que, pour tout réel strictement positif , et tout réel de :
(b) Montrer que
(c) Montrer que
(d) En déduire que la fonction
5. Montrer que, pour tout réel
6. Calculer, pour tout entier naturel
7. Pour tout
8. Montrer qu'au voisinage de
9. Exprimer, pour tout réel
10. Etudier le signe du trinôme du second degré
11. En s'appuyant sur le préambule, que peut-on en déduire concernant le graphe
12. En comparant
13. En déduire le signe de
14. Tracer l'allure du graphe
(c) Montrer que
(d) En déduire que la fonction
5. Montrer que, pour tout réel
6. Calculer, pour tout entier naturel
7. Pour tout
8. Montrer qu'au voisinage de
9. Exprimer, pour tout réel
10. Etudier le signe du trinôme du second degré
11. En s'appuyant sur le préambule, que peut-on en déduire concernant le graphe
12. En comparant
13. En déduire le signe de
14. Tracer l'allure du graphe
Partie II
Soit
- Montrer que la fonction
est dérivable sur . - En appliquant des théorèmes de cours uniquement, et en évitant des calculs trop compliqués, montrer que la fonction
est développable en série entière sur . - Montrer que la fonction
est solution, sur , de l'équation différentielle :
- En recherchant le développement en série entière de
sous la forme , donner une relation de récurrence vérifiée par les . - Pour tout entier naturel
, exprimer et en fonction de . - En déduire le développement en série entière de
. - Etudier la convergence de la série de terme général
- Donner le développement en série entière de la fonction qui, à tout réel
, associe
puis déduire de ce qui précède que, pour tout entier naturel
La partie I étudie des propriétés de la fonction Gamma d'Euler, qui est, notamment, très utilisée en traitement du signal, par l'intermédiaire des lois de probabilité appelées loi Gamma. Ces lois sont aussi utilisées en ingénierie, pour l'analyse de la fiabilité des systèmes.
La partie II s'intéresse à un développement en série entière, mêlant équations différentielles, suites récurrentes, séries.