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Banque PT Mathématiques C PT 2016

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
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Banque
Banque PT
Année
2016
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2016PT MathsMaths 2016
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Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

Soient et deux réels. On s'intéresse aux solutions réelles de l'équation différentielle homogène
  1. On suppose, dans cette question, que : .
    (a) Donner les racines et du trinôme , et rappeler les relations coefficients-racines (qui permettent d'exprimer en fonction de et et ).
    (b) Montrer que toute fonction de la forme , est solution de ( ) sur .
    (c) Vérifier que, pour toute solution de sur :
(d) Montrer qu'il existe deux constantes réelles et telles que, pour toute solution de sur :
(e) En déduire que toute solution sur de l'équation différentielle homogène ( ) est de la forme :
(f) Etude d'un cas particulier : .
i. Donner l'ensemble des solutions sur de l'équation différentielle homogène ( ) dans ce cas particulier.
ii. On adjoint à l'équation différentielle homogène les conditions initiales :
Combien de solutions sur admet alors l'équation différentielle homogène ? On demande d'expliciter ces solutions.
2. On s'intéresse à l'équation aux dérivées partielles :
sur le domaine .
(a) Représenter . On admettra qu'il s'agit d'un ouvert de .
(b) Soit . On considère l'application qui, à tout ( ) de , associe : . Justifier, en explicitant sa réciproque, que est une bijection de sur . Montrer que et sont de classe sur leurs domaines de définition respectifs.
(c) Montrer que la fonction , de classe sur , est solution de ( ) sur si et seulement si la fonction , définie, pour tout de , par : , est solution sur de ( ) :
(d) Déterminer toutes les solutions de ( ) sur .

Partie II

Soient et deux réels, , tels que : . Pour tout entier naturel , on pose :
  1. Montrer qu'il existe deux réels et , que l'on exprimera en fonction de et , tels que, pour tout réel .
  2. Pour tout entier naturel , étudier la convergence de . Que vaut ?
  3. On se place, dans ce qui suit, dans le cas .
    (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul .
    (On pourra intégrer par parties.)
    (b) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de l'entier (on donnera la réponse à l'aide de factorielles).

Partie III

  1. Soit un réel tel que : . Exprimer, en fonction de , les deux solutions et de l'équation :
  1. Donner le domaine de définition de la fonction qui, à tout réel de , associe :
  1. Pour tout réel non nul , rappeler le développement en série entière de la fonction qui, à tout réel de , associe .
  2. Donner le développement en série entière de la fonction , en l'écrivant sous la forme :
où est un domaine de à préciser. On donnera la valeur de , et on exprimera les coefficients , en fonction de , sous forme de produit.
5. Rappeler la formule donnant le produit de Cauchy de deux séries entières. Que peuton dire du rayon de convergence de la série produit?
6. A l'aide de la question II.1, montrer que, pour tout entier :
  1. Montrer que, pour tout entier , où est le coefficient binomial parmi .
  2. Etudier la convergence de la série de terme général .
  3. On appelle mot de Dyck une chaîne de caractères, , formée de lettres et lettres , telle que, lorsque l'on dénombre les lettres de gauche à droite, en s'arrêtant à une lettre du mot, le nombre de soit toujours supérieur ou égal au nombre de . Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur 2 est : . Les mots de Dyck de longueur 4 sont : et et sont des mots de Dyck, alors que ou n'en sont pas.
    Pour tout entier , on désigne par le nombre de mots de Dyck de lettres.
    (a) Calculer .
    (b) On pose : . Montrer que, pour tout entier .
    (c) Montrer que, pour tout entier naturel , et conclure.
La première partie présente une méthode originale montrant que toute solution d'une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, est nécessairement d'une forme donnée, sans recourir aux démonstrations classiques habituellement basées sur du calcul matriciel.
La seconde partie étudie la convergence d'intégrales généralisées.
La troisième partie développe des résultats liés aux nombres de Catalan d'ordre ou , qui sont couramment utilisés en modélisation numérique (éléments finis). Le domaine géométrique auquel on s'intéresse est discrétisé et peut être approché par une surface polygonale par morceaux. Pour obtenir une bonne approximation géométrique, on divise chaque polygone en triangles. Le nombre de configurations possibles pour trianguler un polygone convexe à sommets est donné par le nombre de Catalan d'ordre .
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