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Banque PT Mathématiques C PT 2012

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Banque
Banque PT
Année
2012
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2012PT MathsMaths 2012
2025_08_29_b8f6a6caf93004c1d158g

Épreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Préambule

On considère l'équation différentielle du second ordre :
où et sont définies et continues sur , et telles que ne s'annule jamais.
  1. Soit une solution de .
Pour tout réel , on pose :
Montrer que est solution du système différentiel :
  1. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée à ?
  2. Soit ( ) une base de solutions de l'équation homogène ( ) .
Pour tout réel , on pose :
On recherche une solution de sous la forme :
où et sont deux fonctions de classe sur , à déterminer.
On pose :
Montrer que est solution de si et seulement si, pour tout de :
  1. En déduire que, pour tout réel :

Partie I

  1. i. On considère la série entière : donner son rayon de convergence et sa somme, lorsque celle-ci est définie.
    ii. On considère la série entière : donner son rayon de convergence et sa somme, lorsque celle-ci est définie.
  2. Donner la solution générale de l'équation différentielle .
  3. On considère l'équation différentielle .
    (a) Soit une solution de , définie sur .
    i. Montrer que la fonction est une fonction affine de (on pensera à calculer sa dérivée seconde).
    ii. Montrer que est une base de l'espace des solutions de .
    (b) Dans cette question, on propose une autre méthode pour déterminer les solutions de l'équation homogène ( ).
On recherche les solutions de ( ) développables en série entière au voisinage de 0 , sous la forme :
où les , sont des réels.
i. Donner, pour tout , une relation de récurrence entre et .
. Pour tout entier naturel , exprimer et en fonction de et .
iii. En déduire une expression simplifiée de sur un voisinage de 0 .
4. On considère l'équation différentielle :
On cherche à résoudre ( ) en appliquant la méthode de variation des constantes du préambule, i.e. en recherchant la solution sous la forme :
où et sont deux fonctions inconnues, à déterminer.
(a) Donner la condition vérifiée pour tout réel par et .
(b) Montrer que, pour tout réel :
(c) Exprimer, pour tout réel et .
(d) En déduire l'expression de la solution générale de .

Partie II

Pour tout entier naturel non nul , on pose : .
  1. Donner, pour tout entier naturel non nul , l'expression de en fonction de .
  2. Rappeler la formule de Taylor-Young à l'ordre en un point pour une fonction de classe sur un intervalle de contenant .
  3. Pour , donner le développement limité de la fonction à l'ordre en 0 , et en déduire celui de la fonction à l'ordre en 0 .
  4. Montrer que la fonction est constante sur , et préciser la valeur de cette constante.
  5. Déterminer un réel tel que, pour assez grand :
où est un réel positif que l'on ne cherchera pas à déterminer.
6. Quelle est la nature de la série ?
7. Quelle est la nature de la série ?

Partie III

Pour tout réel , on pose : .
  1. Montrer que est définie et continue sur .
  2. (a) Déterminer : .
    (b) Déterminer : .
  3. Soient et deux réels tels que . Montrer que :
  1. Soit . Montrer que : .
  2. En déduire que, pour tout .
  3. Montrer que : .
  4. Que vaut ?
  5. (a) Montrer que :
(b) Montrer que :
(c) Montrer que :
(d) Que vaut ?
9. Montrer que, pour tout entier naturel :
  1. Montrer que :
  1. En déduire un encadrement de entre deux sommes de séries.
Ce problème propose, tout d'abord, la résolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre par différentes méthodes : méthode de variation des constantes, intégration directe, recherche de solutions développables en série entière. La solution fait intervenir la fonction Arctangente, qui est étudiée dans les parties suivantes.
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