J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Banque PT Mathématiques C PT 2008

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)
Logo banque-pt
🔗 Explorer
Banque
Banque PT
Année
2008
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2008PT MathsMaths 2008
2025_08_29_0ee0b1b6449022987f86g

* Banque filière PT *

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L'objet de ce problème est d'étudier certaines propriétés de la fonction .

I. Première partie

  1. Montrer que, pour tout réel de .
  2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul , et tout réel de :
  1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul :
  1. Soit un entier naturel non nul.
    a. On rappelle que, pour tout réel de .
En effectuant le changement de variable , montrer que peut s'exprimer en fonction de .
b. Montrer que peut s'exprimer en fonction de .
c. Déduire des résultats précédents que :
  1. En utilisant le fait que, lorsque tend vers est équivalent à , en déduire la valeur des intégrales , et .

Deuxième partie

On note, pour tout réel :
  1. Rappeler l'expression du développement en série entière autour de 0 de la fonction exponentielle.
  2. a. La fonction est-elle développable en série entière autour de 0 ?
    b. En déduire que la fonction qui, à tout réel , associe , est développable en série entière autour de 0 .
On admettra, dans ce qui suit, que est développable en série entière autour de 0.
3. Montrer que, pour tout réel :
  1. En posant, pour tout réel : , déterminer la valeur de , la valeur de , ainsi qu'une relation de récurrence reliant, pour tout entier à .
  2. Exprimer, pour tout entier naturel et .
  3. a. Quelle est la limite, lorsque tend vers , de ?
    b. En déduire un équivalent de lorsque tend vers .

Troisième partie

On se propose, dans cette partie, de calculer les intégrales I et par une autre méthode que celle de la première partie.
On considère l'application , définie pour tout réel positif par :
et l'application , définie pour tout réel positif par :
  1. a. g est-elle continue sur ?
    b. g est-elle dérivable sur ?
  2. On définit, pour tout réel positif , l'application par:
Montrer que est une application constante (on pourra, pour , considérer le changement de variable )
3. a. Montrer que, pour tout réel positif :
b. Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
En déduire la limite de lorsque tend vers , puis les valeurs des intégrales et .

Quatrième partie

On se propose, dans cette partie, de calculer les intégrales I et par une autre méthode que celle de la troisième partie.
Pour tout réel , on introduit:
  1. Calculer en fonction de .
  2. Comparer et , et en déduire la valeur de .
La fonction , appelée fonction erreur de Gauss, ou fonction erf, possède de nombreuses applications en mécanique : ainsi, en mécanique statistique, elle permet de déterminer la répartition des vitesses dans un gaz parfait.
Banque PT Mathématiques C PT 2008 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa