Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

PRÉAMBULE

Soient (

) et (

) deux séries entières de rayons de convergence respectifs

non nuls. Pour tout entier naturel

, on désigne par

les sommes partielles définies par :

et par

les limites de ces sommes à l'intérieur des disques de convergence respectifs.

Calculer les trois produits et en fonction des coefficients des séries entières et .
On pose, pour tout entier . Montrer que le produit peut se mettre sous la forme :

où

est un polynôme de degré

, que l'on ne cherchera pas à expliciter.
On dit alors que la série entière (

) est la série produit des séries (

) et

. Dans toute la suite, on admettra que cette série produit est de rayon de convergence

supérieur ou égal au plus petit des deux rayons

et que l'on a, pour tout

de l'intérieur de son disque de convergence, la relation :

PARTIE I

Étude des nombres de Bernoulli

On définit les fonctions

dans

par :

a. Quel est le domaine de définition des fonctions et ?
b. Montrer que tend vers une limite, notée , lorsque tend vers 0 .
c. On suppose que la fonction ainsi prolongée admet un développement en série entière. Quel est son rayon de convergence?
On admet que la fonction est développable en série entière sur le disque ouvert , de centre , et de rayon . Les nombres de Bernoulli seront ici définis comme les uniques nombres tels que l'on ait, pour tout de , la relation :

a. Pour tout

réel, on considère la fonction

définie sur

par la relation :

En utilisant les résultats du préambule, montrer qu'il existe une suite unique (

) de polynômes de la variable

, appelés polynômes de Bernoulli, tels que l'on ait, pour tout

, la relation :

.
b. Donner l'expression des polynômes de Bernoulli

en fonction des nombres de Bernoulli

.
c. Montrer que l'on a

pour tout entier

. Comparer

. Quelle est la valeur de

?
3. Dans toute cette partie,

est un réel quelconque et

est dans

. Démontrer que

, et en déduire, pour tout entier positif

, la relation

b. Vérifier que

, et en déduire, pour tout entier

strictement positif la relation

Comparer alors

.
4. On désigne par

le symbole de Kronecker, égal à 1 si

et égal à 0 sinon.
a. Pour

entiers, démontrer que :

.
b. En déduire, pour tout réel

c. Calculer, pour

réel et

dans

, la dérivée

en fonction de

et de

.
d. En justifiant la dérivabilité de chacun des deux membres de la relation obtenue en I.4.b, démontrer, pour tout

réel et pour tout entier

strictement positif, la relation

Pour tout entier strictement positif, montrer que l'intégrale est nulle.
Pour tout entier strictement positif, montrer que est nul.
a. Pour tout entier , montrer que est égal à .

En déduire que la suite

est une suite de rationnels. (On pourra utiliser, en le justifiant, le fait que

est nul pour

entier supérieur ou égal à 2.)
b. Calculer

.
c. Pour tout

réel, montrer que :

PARTIE II

Étude de la fonction Zêta

Dans toute cette partie,

désigne un entier strictement positif. On désigne par

l'application de

dans

, périodique de période 1 , définie par :

pour

, et par :

a. Chaque fonction est-elle de classe par morceaux?
b. Représenter la fonction sur .
Dans toute cette partie II.2, désigne un entier strictement positif.
a. Chaque fonction est-elle développable en série de Fourier, périodique de période 1, sous forme réelle? Donner, sans la calculer, l'expression intégrale des coefficients de ce développement, que l'on notera , et, pour entier, .
b. Calculer .
c. Calculer, pour tout entier naturel strictement positif et .
d. Donner, pour tout entier naturel strictement positif , une relation entre et , puis entre et .
e. Que valent, pour tout entier naturel strictement positif et ?
. Pour tout entier naturel strictement positif , montrer que : , et en déduire la valeur de .
. En déduire, pour tout réel :

Pour réel, on considère la série de terme général .
a. Quel est le domaine de convergence de cette série? On notera alors .
b. Exprimer en fonction des nombres de Bernoulli.
c. En déduire la valeur de .

Les nombres de Bernoulli sont utilisés en mécanique des fluides pour déterminer la distribution statistique des vitesses des molécules d'un gaz parfait, et plus généralement en mécanique statistique pour calculer des fonctions thermodynamiques, telle l'enthalpie, à partir de considérations à l'échelle atomique ou moléculaire.