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Banque PT Mathématiques B PT 2025

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Algèbre linéaireGéométrieCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesEquations différentielles
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Banque
Banque PT
Année
2025
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2025PT MathsMaths 2025
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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte et les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

  • Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
  • L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
  • Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
  • Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
  • Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.
Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.
Le sujet est composé de 3 exercices indépendants.

Premier exercice.

Dans cet exercice, l'espace euclidien est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct .
On considère la conique d'équation
  1. Ecrire la matrice associée à l'équation de la conique .
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
  3. Donner une équation réduite de ainsi qu'un repère orthonormé direct dans lequel cette équation est obtenue.
  4. Donner la nature de
  5. Déterminer les principaux éléments caractéristiques de (centre éventuel, sommets, asymptotes éventuelles).
    Les coordonnées des points et les équations des éventuelles asymptotes seront données dans le repère puis dans le repère
  6. Tracer dans le repère sur la feuille de papier millimétrée fournie.
On mettra en évidence le repère ainsi que les éléments déterminés dans la question 5.
Unité : 2 cm .

Deuxième exercice.

L'objectif de cet exercice est de résoudre sur , l'équation différentielle
On note l'équation différentielle homogène associée à :
On désigne par l'ensemble des solutions réelles de sur et par l'ensemble des solutions réelles de sur .

Partie I

  1. Démontrer que .
  2. Démontrer que est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions deux fois dérivables sur .
  3. Donner, sans démonstration, la dimension de .
  4. Démontrer que la fonction définie sur est solution de sur .

Partie II

On considère la matrice .
L'espace vectoriel est muni de sa base canonique.
5. La matrice est-elle inversible?
6. Déterminer le noyau de .
7. Démontrer que l'image de est le plan d'équation .
8. Sans résoudre les systèmes, déterminer à l'aide des questions précédentes quel est le nombre de solutions (éventuellement infini) de :
  1. Résoudre le système .

Partie III

L'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2 est noté et sa base canonique est .
On considère la fonction définie sur par
  1. Calculer .
  2. Démontrer que est un endomorphisme de .
  3. Déterminer la matrice de dans la base .
  4. En déduire, sans calcul, le noyau de ainsi qu'une solution de l'équation

Partie IV

  1. Déterminer puis .

Troisième exercice.

Dans cet exercice, l'espace euclidien est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct ( ).
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie I

On considère la surface d'équation cartésienne : .
On note la courbe de représentation paramétrique :
De plus, désigne le point de de paramètre .
Enfin, est le plan d'équation où et .
  1. (a) Justifier que le plan d'équation est un plan de symétrie de la surface .
    (b) Déterminer les points non réguliers de .
    (c) Déterminer une équation du plan tangent à au point de coordonnées après avoir vérifié que .
    (d) Démontrer que l'ensemble des points (réguliers) de en lesquels le plan tangent à est parallèle au plan d'équation est une droite privée de dont on donnera un vecteur directeur.
    (e) Existe-t-il un point régulier de en lequel le plan tangent à est orthogonal au vecteur ?
  2. Démontrer que la courbe est régulière.
  3. Vérifier que .
  4. Soit .
    (a) Pour quelle valeur de (dépendante de ), a-t-on ?
Dans la suite de cette question, prend cette valeur.
(b) Déterminer un vecteur directeur de la tangente à en .
(c) Vérifier que est un point régulier de et déterminer un vecteur directeur de la tangente à en .
(d) Démontrer que et sont orthogonaux.

Partie II

On considère une fonction de classe sur un ouvert de , et deux fonctions et de classe sur un intervalle ouvert de .
On suppose que : et .
On note la surface d'équation cartésienne et la courbe de représentation paramétrique où .
On note le point de de paramètre et on suppose et choisies telles que la courbe soit régulière.
Enfin, on admet que .
  1. Soit fixé.
On note le plan d'équation et .
(a) On considère un point régulier de de coordonnées . Déterminer un vecteur tangent à au point .
(b) En déduire un vecteur tangent à au point .
(c) Déterminer un vecteur tangent à au point .
On donnera son expression d'abord à l'aide des fonctions et puis à l'aide des fonctions et .
(d) Démontrer que les vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si la relation suivante, notée ( ) est vérifiée :
Dans la suite de cette partie, on pose et est la fonction où est une fonction de classe sur dont la dérivée ne s'annule pas sur .
On suppose de plus que ne s'annule pas sur .
On note le plan d'équation et .
2. (a) Justifier que la fonction est strictement monotone sur .
(b) Justifier que pour tout , il existe un unique tel que . Qu'en est-il si ?
(c) En déduire que pour tout est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Qu'en est-il si ?
(d) Justifier que est une surface de révolution dont on précisera l'axe.
3. Démontrer que la relation est vérifiée pour tout dans si et seulement si la fonction est constante sur .
On suppose désormais que la relation est vérifiée pour tout .
4. En déduire que est incluse dans un plan dont une équation est de la forme :
ù
  1. (a) Rappeler la définition d'une méridienne d'une surface de révolution.
    (b) En déduire que la courbe est incluse dans une méridienne de .
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