Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 3 exercices indépendants.

Premier exercice.

Dans cet exercice, l'espace euclidien

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

On considère la surface

de représentation paramétrique

On note

le point de

de paramètres

Démontrer que est l'unique point de de coordonnées .
Déterminer une équation cartésienne du plan tangent à en .

Deuxième exercice.

Dans cet exercice, l'espace euclidien

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

).
On considère les fonctions

définie sur par où ;
définie sur .
définie sur par .
définie sur .

Enfin

désigne une fonction de classe

sur

.
Pour tout

, on note

la courbe de représentation paramétrique ;
le point de de paramètre pour .

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A :

Quelle est la nature de ? Préciser ses éléments caractéristiques.
Démontrer que est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Partie B :

Calculer la longueur de entre les points et .
La courbe est-elle de longueur finie?
Démontrer que tous les points pour lesquels la tangente à est verticale sont alignés. On précisera un point et un vecteur directeur de la droite qui les contient.
Soit un point de .

Donner le repère de Frenet puis la courbure de

au point

.
5. Déterminer une représentation paramétrique de la développée

.
6. Démontrer que

est l'image de

par une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
On pourra s'intéresser aux affixes complexes des différents points considérés.

Partie C :

Justifier que l'on peut réduire l'intervalle d'étude de à . Préciser comment obtenir la courbe en entier.
Déterminer les tableaux de variations des fonctions et sur . Préciser les valeurs et/ou les limites au bord.
Quelle est la nature du point ? Préciser la tangente en ce point.
Donner les coordonnées du point ainsi que celles d'un vecteur directeur de la tangente à en ce point.
Etudier la branche infinie lorsque tend vers .
Tracer la courbe sur la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet. On y fera apparaitre les éléments déterminés dans les questions précédentes. Unité : 8 cm

Partie D :

On considère les 2 fonctions

définies sur

par

Ainsi que la famille de droites

d'équation cartésienne :

Démontrer que ,

Soit . Déterminer l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées ainsi qu'un vecteur directeur de la droite puis en déduire une représentation paramétrique de la droite .
Déterminer une représentation paramétrique de l'enveloppe de la famille de droites .
Existe-t-il une fonction telle que ?

Troisième exercice.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

L'objectif de cette partie est de déterminer toutes les matrices

vérifiant

où

Résoudre les trois équations d'inconnue ,

(a) Déterminer les valeurs propres de la matrice .
(b) La matrice est-elle diagonalisable ?
(c) Déterminer une matrice inversible et une matrice diagonale telles que .
On classera les coefficients de la diagonale de par ordre croissant.
Soit

On pose

où

est la matrice déterminée dans la question 1 .
(a) Démontrer que

On suppose désormais que

est solution de

.
(b) Démontrer que

.
(c) Soit

un vecteur propre de

associé à la valeur propre

Démontrer que le vecteur

appartient au sous-espace propre de

associé à la valeur propre

et en déduire que

est un vecteur propre de

.
(d) En déduire que la matrice

est diagonale.
4. (a) Déterminer toutes les matrices diagonales

vérifiant

.
(b) En déduire toutes les matrices

vérifiant

. On exprimera ces matrices

à l'aide de

et de matrices diagonales à préciser.

Partie B :

Cette partie s'intéresse aux matrices

vérifiant

où

Démontrer que si est solution de , il en est de même pour toute matrice semblable à .
Soient une solution de et une valeur propre de .

Etablir que

.
3. On note

les deux racines (éventuellement égales) de

.
(a) Soit

. Démontrer que

est solution de

si et seulement si 1 est valeur propre double de

.
(b) Soit

. Démontrer que si

est solution de

alors

est diagonalisable. Préciser les matrices diagonales

, semblables à

, possibles (à l'aide de

).
(c) Soit

. On suppose que

est semblable à l'une des matrices

données à la question précédente. Démontrer que

est solution de

.
(d) Pour

, donner une matrice

non diagonale solution de (

). On explicitera ses 4 coefficients.